Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 199 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) При каких значениях \(a\) и \(b\) является тождеством равенство
\[
\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2}?
\]
\[
\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2}
\]
\[
\frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)} + \frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)} =\]
\[\frac{ax + 2a + bx — 5b}{(x-5)(x+2)} = \frac{x(a+b) + (2a-5b)}{(x-5)(x+2)}
\]
\[
\begin{cases}
a + b = 5 \\
2a — 5b = 31
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
b = 5 — a \\
2a — 5(5 — a) = 31
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
b = 5 — a \\
7a = 31 + 25
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
b = 5 — a \\
7a = 56
\end{cases}
\]
Необходимо привести правую часть равенства к общему знаменателю и, учитывая левую часть равенства (числитель), составить систему уравнений.
Ответ: \(a = 8\), \(b = -3\).
Приводим правую часть равенства к общему знаменателю:
\(\frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)}\)
Сравниваем числители:
\(ax + 2a + bx — 5b = 5x + 31\)
Составляем систему уравнений, исходя из коэффициентов при \(x\) и свободных членов:
\(\begin{cases} a + b = 5 \\ 2a — 5b = 31 \end{cases}\)
Решаем систему уравнений:
Из первого уравнения: \(b = 5 — a\)
Подставляем во второе уравнение: \(2a — 5(5 — a) = 31\)
Раскрываем скобки: \(2a — 25 + 5a = 31\)
Собираем подобные: \(7a = 31 + 25\)
\(7a = 56\)
\(a = 8\)
Находим \(b\): \(b = 5 — 8 = -3\)
Ответ: \(a = 8\), \(b = -3\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.