Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 18 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
а) \(\frac{3}{x^2 + 1}\) положительно;
б) \(\frac{-5}{y^2 + 4}\) отрицательно;
в) \(\frac{(a — 1)^2}{a^2 + 10}\) неотрицательно;
г) \(\frac{(b — 3)^2}{-b^2 — 1}\) неположительно.
а) Т.к. \(3 > 0\) и знаменатель \((x^2 + 1) > 0\), значит и вся дробь \(\frac{3}{x^2 + 1} > 0\).
б) Т.к. числитель \(-5 < 0\), а знаменатель \((y^2 + 4) > 0\), значит вся дробь \(\frac{-5}{y^2 + 4} < 0\).
в) Т.к. числитель \((a — 1)^2 \geq 0\) (при \(a = 1\) числитель будет равен нулю), знаменатель \(a^2 + 10 > 0\), значит и вся дробь \(\frac{(a — 1)^2}{a^2 + 10} \geq 0\).
г) Т.к. числитель \((b — 3)^2 \geq 0\) (при \(b = 3\) числитель будет равен нулю), знаменатель \(-b^2 — 1 = -(b^2 + 1) < 0\), значит вся дробь \(\frac{(b — 3)^2}{-b^2 — 1} \leq 0\).
а) Доказать, что \(\frac{3}{x^2 + 1} > 0\) при любом \(x\)
\(\frac{3}{x^2 + 1}\)
- Числитель: \(3 > 0\).
- Знаменатель: \(x^2 + 1\). Квадрат любого числа \(x^2 \geq 0\), значит \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x\).
- Дробь с положительным числителем и положительным знаменателем всегда положительна.
Вывод: \(\frac{3}{x^2 + 1} > 0\) для всех значений \(x\).
б) Доказать, что \(\frac{-5}{y^2 + 4} < 0\) при любом \(y\)
\(\frac{-5}{y^2 + 4}\)
- Числитель: \(-5 < 0\).
- Знаменатель: \(y^2 + 4\). Поскольку \(y^2 \geq 0\), то \(y^2 + 4 > 0\) для всех \(y\).
- Дробь с отрицательным числителем и положительным знаменателем всегда отрицательна.
Вывод: \(\frac{-5}{y^2 + 4} < 0\) для всех значений \(y\).
в) Доказать, что \(\frac{(a — 1)^2}{a^2 + 10} \geq 0\) при любом \(a\)
\(\frac{(a — 1)^2}{a^2 + 10}\)
- Числитель: \((a — 1)^2 \geq 0\) для всех \(a\), так как квадрат любого числа неотрицателен.
- При \(a = 1\) числитель равен нулю, тогда дробь равна 0.
- Знаменатель: \(a^2 + 10 > 0\) для всех \(a\), так как \(a^2 \geq 0\) и \(10 > 0\).
- Дробь с неотрицательным числителем и положительным знаменателем неотрицательна.
Вывод: \(\frac{(a — 1)^2}{a^2 + 10} \geq 0\) для всех значений \(a\).
г) Доказать, что \(\frac{(b — 3)^2}{-b^2 — 1} \leq 0\) при любом \(b\)
\(\frac{(b — 3)^2}{-b^2 — 1}\)
- Числитель: \((b — 3)^2 \geq 0\) для всех \(b\), квадрат неотрицателен.
- При \(b = 3\) числитель равен 0, тогда дробь равна 0.
- Знаменатель: \(-b^2 — 1 = -(b^2 + 1)\). Поскольку \(b^2 \geq 0\), то \(b^2 + 1 > 0\), значит знаменатель отрицателен.
- Дробь с неотрицательным числителем и отрицательным знаменателем всегда неположительна (меньше или равна нулю).
Вывод: \(\frac{(b — 3)^2}{-b^2 — 1} \leq 0\) для всех значений \(b\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.