Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 172 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите среднее гармоническое чисел:
a) 3, 5;
б) 2, 4, 8;
в) 5, 10, 15, 20.
1) \( \frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} = 2 : \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) = 2 : \left(\frac{5}{15} + \frac{3}{15}\right) = 2 : \frac{8}{15} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{15}{4} = 3,75 \)
2) \( \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = 3 : \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) =\)
\(3 : \left(\frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8}\right) = 3 : \frac{7}{8} = 3 \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{7} = 3,43 \)
3) \( \frac{4}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}} = 4 : \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) = 4 : \left(\frac{12}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60}\right) =\)
\(4 : \frac{25}{60} = 4 \cdot \frac{60}{25} = \frac{240}{25} = 9,6 \)
Задача a: Найти среднее гармоническое чисел 3 и 5
Формула среднего гармонического для двух чисел a и b:
\( H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \)
Подставляем числа 3 и 5:
\( H = \frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} = 2 : \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{1}{3} = \frac{5}{15}, \quad \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \)
Складываем дроби:
\( \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15} \)
Находим обратное значение:
\( H = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = 3,75 \)
Задача б: Найти среднее гармоническое чисел 2, 4 и 8
Формула среднего гармонического для трех чисел a, b и c:
\( H = \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \)
Подставляем числа 2, 4 и 8:
\( H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = 3 : \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{1}{2} = \frac{4}{8}, \quad \frac{1}{4} = \frac{2}{8}, \quad \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \)
Складываем дроби:
\( \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)
Находим обратное значение:
\( H = 3 \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{7} \approx 3,3/7 \)
Задача в: Найти среднее гармоническое чисел 5, 10, 15 и 20
Формула среднего гармонического для четырех чисел a, b, c и d:
\( H = \frac{4}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}} \)
Подставляем числа 5, 10, 15 и 20:
\( H = \frac{4}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}} = 4 : \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) \)
Приводим к общему знаменателю (60):
\( \frac{1}{5} = \frac{12}{60}, \quad \frac{1}{10} = \frac{6}{60}, \quad \frac{1}{15} = \frac{4}{60}, \quad \frac{1}{20} = \frac{3}{60} \)
Складываем дроби:
\( \frac{12}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{25}{60} \)
Находим обратное значение:
\( H = 4 \cdot \frac{60}{25} = \frac{240}{25} = 9,6 \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.