Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 169 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
а) \(\frac{a+b}{a-b}\), если \(a = \frac{1}{1-x}\), \(b = \frac{1}{1+x}\);
б) \(\frac{ax}{a+x} — \frac{bx}{b-x}\), если \(x = \frac{ab}{a-b}\).
a) \(\frac{a+b}{a-b}\), \(a = \frac{1}{1-x}\), \(b = \frac{1}{1+x}\)
\[\frac{a+b}{a-b} = \left( \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} \right) : \left( \frac{1}{1-x} — \frac{1}{1+x} \right)\]
\[= \frac{1+x + 1-x}{(1-x)(1+x)} : \frac{1+x — (1-x)}{(1-x)(1+x)}\]
\[= \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}\]
б) \(\frac{ax}{a+x} — \frac{bx}{b-x}\), \(x = \frac{ab}{a-b}\)
\[\frac{ax}{a+x} — \frac{bx}{b-x} = \frac{a \cdot \frac{ab}{a-b}}{a + \frac{ab}{a-b}} — \frac{b \cdot \frac{ab}{a-b}}{b — \frac{ab}{a-b}}\]
\[= \frac{a^2b}{a^2} — \frac{b^2a}{-b^2} = b — a\]
\[= a + b\]
а) Вычислить \(\frac{a+b}{a-b}\), где \(a = \frac{1}{1-x}\), \(b = \frac{1}{1+x}\)
Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение:
\frac{\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x} — \frac{1}{1+x}}
\]
Приведём к общему знаменателю:
= \frac{\frac{1+x + 1-x}{(1-x)(1+x)}}{\frac{1+x — (1-x)}{(1-x)(1+x)}}
\]
Упростим числитель и знаменатель:
= \frac{\frac{2}{1-x^2}}{\frac{2x}{1-x^2}} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
\]
б) Вычислить \(\frac{ax}{a+x} — \frac{bx}{b-x}\), где \(x = \frac{ab}{a-b}\)
Подставим значение \(x = \frac{ab}{a-b}\) в выражение:
\frac{a \cdot \frac{ab}{a-b}}{a + \frac{ab}{a-b}} — \frac{b \cdot \frac{ab}{a-b}}{b — \frac{ab}{a-b}}
\]
Упростим каждую часть:
= \frac{a^2b}{a^2} — \frac{b^2a}{-b^2} = b — a
\]
Упростим выражение:
= a + b
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.