Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 165 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
а) \(\left(n + \frac{1}{n}\right)^2\);
б) \(\left(\frac{a}{b} — \frac{b}{a}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} — 1\right)^2\);
г) \(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 — \left(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\right)^2\).
а) \((n + \frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} = \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2}\)
б) \((\frac{a}{b} — \frac{b}{a})^2 = \frac{a^2}{b^2} — 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^4 — 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2}\)
в) \((\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} — 1)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1 + \frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1 = \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2}\)
г) \((\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 — (\frac{p}{q} — \frac{q}{p})^2 = (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) = 4\)
а) \((n + \frac{1}{n})^2\)
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
\((n + \frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \left(\frac{1}{n}\right)^2\)
Упростим выражение:
\(= n^2 + 2 + \frac{1}{n^2}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(= \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2}\)
Раскроем скобки по формуле квадрата разности:
\((\frac{a}{b})^2 — 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2\)
Упростим выражение:
\(= \frac{a^2}{b^2} — 2 + \frac{b^2}{a^2}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(= \frac{a^4 — 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2}\)
Раскроем каждое выражение по формуле квадрата суммы и разности:
\((\frac{x}{y} + 1)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\)
\((\frac{x}{y} — 1)^2 = \frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\)
Сложим результаты:
\(= \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} + 1 + \frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\)
Упростим:
\(= \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2}\)
Используем формулу разности квадратов:
\((a + b)^2 — (a — b)^2 = 4ab\)
В данном случае \(a = \frac{p}{q}\) и \(b = \frac{q}{p}\), подставим:
\(= 4 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p}\)
Упростим:
\(= 4\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.