ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 165 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
а) \(\left(n + \frac{1}{n}\right)^2\);
б) \(\left(\frac{a}{b} — \frac{b}{a}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} — 1\right)^2\);
г) \(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 — \left(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\right)^2\).

Краткий ответ:

а) \((n + \frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} = \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2}\)

б) \((\frac{a}{b} — \frac{b}{a})^2 = \frac{a^2}{b^2} — 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^4 — 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2}\)

в) \((\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} — 1)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1 + \frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1 = \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2}\)

г) \((\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 — (\frac{p}{q} — \frac{q}{p})^2 = (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) = 4\)

Подробный ответ:

а) \((n + \frac{1}{n})^2\)

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

\((n + \frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \left(\frac{1}{n}\right)^2\)

Упростим выражение:

\(= n^2 + 2 + \frac{1}{n^2}\)

Приведем к общему знаменателю:

\(= \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2}\)

б) \((\frac{a}{b} — \frac{b}{a})^2\)

Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

\((\frac{a}{b})^2 — 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2\)

Упростим выражение:

\(= \frac{a^2}{b^2} — 2 + \frac{b^2}{a^2}\)

Приведем к общему знаменателю:

\(= \frac{a^4 — 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2}\)

в) \((\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} — 1)^2\)

Раскроем каждое выражение по формуле квадрата суммы и разности:

\((\frac{x}{y} + 1)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\)

\((\frac{x}{y} — 1)^2 = \frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\)

Сложим результаты:

\(= \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} + 1 + \frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\)

Упростим:

\(= \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2}\)

г) \((\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 — (\frac{p}{q} — \frac{q}{p})^2\)

Используем формулу разности квадратов:

\((a + b)^2 — (a — b)^2 = 4ab\)

В данном случае \(a = \frac{p}{q}\) и \(b = \frac{q}{p}\), подставим:

\(= 4 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p}\)

Упростим:

\(= 4\)

Оцени решение