Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 164 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \( n \) значение выражения
\[
\left( \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} \right) : \left( \frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \right)
\]
является натуральным числом.
\[
\left( \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} \right) : \left( \frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{27}{3n^2} + \frac{n^3}{3n^2} \right) = \frac{27+n^3}{3n^2}
\]
\[
= \left( \frac{9}{3n^2} — \frac{3n}{3n^2} + \frac{n^2}{3n^2} \right) = \frac{27+n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9-3n+n^2} = 3+n
\]
Значит, при любом натуральном \( n \) значение выражения \( 3 + n \) является натуральным числом.
Докажем, что при любом натуральном \( n \) значение выражения:
\left( \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} \right) : \left( \frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \right)
\]
является натуральным числом.
Шаг 1: Преобразование числителя
Числитель выражения:
\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}
\]
Приведем к общему знаменателю:
\frac{27}{3n^2} + \frac{n^3}{3n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2}
\]
Шаг 2: Преобразование знаменателя
Знаменатель выражения:
\frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3}
\]
Приведем к общему знаменателю:
\frac{9}{3n^2} — \frac{3n}{3n^2} + \frac{n^2}{3n^2} = \frac{9 — 3n + n^2}{3n^2}
\]
Шаг 3: Деление числителя на знаменатель
Теперь разделим числитель на знаменатель:
\frac{27 + n^3}{3n^2} \div \frac{9 — 3n + n^2}{3n^2} = \frac{27 + n^3}{9 — 3n + n^2}
\]
Упростим выражение:
= \frac{(3+n)(9-3n+n^2)}{9-3n+n^2} = 3 + n
\]
Вывод
Таким образом, при любом натуральном \( n \) значение выражения \( 3 + n \) является натуральным числом.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.