Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 163 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Доказать, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:
a)
\[
\left( \frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a-b}{2a + 2b} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \right);
\]
б)
\[
\frac{y}{x-y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x-y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right).
\]
Выражение (a) упрощается до 1, а выражение (б) упрощается до -1.
Решение для выражения (a)
Рассмотрим выражение:
\( \left( \frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a-b}{2a + 2b} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \right) \)
Упростим каждую часть:
Первое слагаемое: \( \frac{2ab}{a^2 — b^2} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \)
Второе слагаемое: \( \frac{a-b}{2a + 2b} = \frac{a-b}{2(a+b)} \)
Выражение принимает вид:
\( \left( \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \right) \)
Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{4ab + a^2 — 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} \)
\( = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} \)
Упростим вторую часть:
\( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} = \frac{2a(b-a) + b(a+b)}{(a+b)(b-a)} \)
\( = \frac{2ab — 2a^2 + ab + b^2}{(a+b)(b-a)} \)
\( = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{(a+b)(b-a)} \)
Итоговое выражение:
\( \frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} \)
\( = \frac{a}{a-b} — \frac{b}{a-b} \)
\( = 1 \)
Решение для выражения (б)
Рассмотрим выражение:
\( \frac{y}{x-y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x-y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right) \)
Упростим каждую часть:
Первое слагаемое: \( \frac{y}{x-y} \)
Второе слагаемое: \( \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x-y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right) \)
Упростим второе слагаемое:
\( \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)} \)
\( = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{x+y} \)
Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{y(x+y) — (x^2 + y^2)}{(x-y)(x+y)} \)
\( = \frac{-x(x-y)}{(x-y)(x+y)} \)
Итоговое выражение:
\( \frac{-1}{x+y} = -1 \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.