ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 163 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Доказать, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

a)
\[
\left( \frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a-b}{2a + 2b} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \right);
\]

б)
\[
\frac{y}{x-y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x-y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right).
\]

Выражение (a) упрощается до 1, а выражение (б) упрощается до -1.

Решение для выражения (a)

Рассмотрим выражение:

\( \left( \frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a-b}{2a + 2b} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \right) \)

Упростим каждую часть:

Первое слагаемое: \( \frac{2ab}{a^2 — b^2} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \)

Второе слагаемое: \( \frac{a-b}{2a + 2b} = \frac{a-b}{2(a+b)} \)

Выражение принимает вид:

\( \left( \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \right) \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{4ab + a^2 — 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} \)

\( = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} \)

Упростим вторую часть:

\( \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} = \frac{2a(b-a) + b(a+b)}{(a+b)(b-a)} \)

\( = \frac{2ab — 2a^2 + ab + b^2}{(a+b)(b-a)} \)

\( = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{(a+b)(b-a)} \)

Итоговое выражение:

\( \frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} \)

\( = \frac{a}{a-b} — \frac{b}{a-b} \)

\( = 1 \)

Решение для выражения (б)

Рассмотрим выражение:

\( \frac{y}{x-y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x-y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right) \)

Упростим каждую часть:

Первое слагаемое: \( \frac{y}{x-y} \)

Второе слагаемое: \( \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x-y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right) \)

Упростим второе слагаемое:

\( \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)} \)

\( = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{x+y} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{y(x+y) — (x^2 + y^2)}{(x-y)(x+y)} \)

\( = \frac{-x(x-y)}{(x-y)(x+y)} \)

Итоговое выражение:

\( \frac{-1}{x+y} = -1 \)