Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 161 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
a)
\[
\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \left( \frac{p}{q} — \frac{q}{p} \right) = \frac{1}{q};
\]
б)
\[
\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2}.
\]
a)
\[
\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \left( \frac{p}{q} — \frac{q}{p} \right) = \frac{1}{q};
\]
Доказательство:
1. Раскрываем скобки:
\[
\frac{p}{q} — \frac{q}{p} = \frac{p^2 — q^2}{pq}
\]
2. Подставляем в выражение:
\[
\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \frac{p^2 — q^2}{pq} = \frac{2p — q}{pq} — \frac{p^2 — q^2}{(p+q)pq}
\]
3. Упрощаем:
\[
\frac{2p — q}{pq} — \frac{(p-q)(p+q)}{pq(p+q)} = \frac{2p — q — (p-q)}{pq} = \frac{1}{q}
\]
б)
\[
\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2}.
\]
Доказательство:
1. Упрощаем левую часть:
\[
\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{(a+b)^2 — (a-b)^2}{2(a^2 — b^2)} = \frac{4ab}{2(a^2 — b^2)} = \frac{2ab}{a^2 — b^2}
\]
2. Упрощаем правую часть:
\[
\frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2} = \frac{ab + b^2 — (b^2 — ab)}{a^2 — b^2} = \frac{2ab}{a^2 — b^2}
\]
Тождество a)
\(\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \left( \frac{p}{q} — \frac{q}{p} \right) = \frac{1}{q}\)
1. Раскрываем скобки:
\(\frac{p}{q} — \frac{q}{p} = \frac{p^2 — q^2}{pq}\)
2. Подставляем в выражение:
\(\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \frac{p^2 — q^2}{pq} = \frac{2p — q}{pq} — \frac{p^2 — q^2}{(p+q)pq}\)
3. Упрощаем:
\(\frac{2p — q}{pq} — \frac{(p-q)(p+q)}{pq(p+q)} = \frac{2p — q — (p-q)}{pq} = \frac{1}{q}\)
Тождество б)
\(\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2}\)
1. Упрощаем левую часть:
\(\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{(a+b)^2 — (a-b)^2}{2(a^2 — b^2)}\)
Раскрываем скобки: \((a+b)^2 — (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2) = 4ab\)
\(\frac{4ab}{2(a^2 — b^2)} = \frac{2ab}{a^2 — b^2}\)
2. Упрощаем правую часть:
\(\frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2} = \frac{ab + b^2 — (b^2 — ab)}{a^2 — b^2}\)
\(\frac{ab + b^2 — b^2 + ab}{a^2 — b^2} = \frac{2ab}{a^2 — b^2}\)
Таким образом, обе части равны, следовательно, тождество доказано.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.