ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 157 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а)
\[
\frac{4xy}{y^2 — x^2} : \left( \frac{1}{y^2 — x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right);
\]

б)
\[
\left( \frac{x — 2y}{x^2 + 2xy} — \frac{1}{x^2 — 4y^2} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^2} \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2}.
\]

а)
\[
\frac{4xy}{y^2 — x^2} : \left( \frac{1}{y^2 — x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right) = 2xy + 2x^2
\]

1)
\[
\frac{1}{y^2 — x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)(x+y)}
\]

\[
= \frac{y+x}{(y-x)(y+x)(y+x)} + \frac{y-x}{(y-x)(y+x)(y+x)}
\]

\[
= \frac{2y}{(y-x)(y+x)(y+x)}
\]

2)
\[
\frac{4xy}{y^2 — x^2} \cdot \frac{2y}{(y-x)(y+x)} = \frac{4xy \cdot 2y}{(y-x)(y+x)(y+x)}
\]

\[
= \frac{2x(y+x)}{1} = 2xy + 2x^2
\]

б)
\[
\left( \frac{x-2y}{x^2+2xy} — \frac{1}{x^2-4y^2} \right) : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{x-2y}{2xy}
\]

1)
\[
\frac{1}{x^2-4y^2} = \frac{1}{(x-2y)(x+2y)}
\]

\[
= \frac{x-2y}{(x+2y)(x+2y)}
\]

2)
\[
\frac{x-2y}{x^2+2xy} — \frac{1}{x^2-4y^2} = \frac{(x-2y)(x+2y) — (x^2-4y^2)}{x(x+2y)(x+2y)}
\]

\[
= \frac{-4y^2 + 2xy}{x(x+2y)(x+2y)}
\]

3)
\[
\frac{-2y(2y-x)}{x(x+2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{-1(2y-x)}{2xy}
\]

\[
= \frac{x-2y}{2xy}
\]

Упрощение выражения а)

Упростим выражение:

\[
\frac{4xy}{y^2 — x^2} : \left( \frac{1}{y^2 — x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right)
\]

Шаг 1: Найдем общий знаменатель для дробей в скобках

Знаменатели: \( (y-x)(y+x) \) и \( (x+y)(x+y) \)

Общий знаменатель: \( (y-x)(y+x)(y+x) \)

Сложим дроби:

\[
\frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)(x+y)} = \frac{y+x}{(y-x)(y+x)(y+x)} +\]

\[+\frac{y-x}{(y-x)(y+x)(y+x)}
\]

\[
= \frac{(y+x) + (y-x)}{(y-x)(y+x)(y+x)} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)(y+x)}
\]

Шаг 2: Подставим обратно в исходное выражение

\[
\frac{4xy}{y^2 — x^2} \cdot \frac{(y-x)(y+x)(y+x)}{2y}
\]

Упростим:

\[
= \frac{4xy \cdot (y-x)(y+x)(y+x)}{(y-x)(y+x) \cdot 2y} = \frac{2x(y+x)}{1} = 2xy + 2x^2
\]

Упрощение выражения б)

Упростим выражение:

\[
\left( \frac{x-2y}{x^2+2xy} — \frac{1}{x^2-4y^2} \right) : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}
\]

Шаг 1: Вычтем дроби

Знаменатели: \( x^2+2xy \) и \( (x-2y)(x+2y) \)

Общий знаменатель: \( x(x+2y)(x+2y) \)

Вычтем дроби:

\[
\frac{x-2y}{x^2+2xy} — \frac{1}{x^2-4y^2} = \frac{(x-2y)(x+2y) — (x^2-4y^2)}{x(x+2y)(x+2y)}
\]

\[
= \frac{x^2 — 2xy — x^2 + 4y^2}{x(x+2y)(x+2y)} = \frac{-2y(2y-x)}{x(x+2y)(x+2y)}
\]

Шаг 2: Подставим обратно в исходное выражение

\[
\frac{-2y(2y-x)}{x(x+2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} \cdot \frac{(2y-x)^2}{x+2y}
\]

Упростим:

\[
= \frac{-2y(2y-x)(x+2y)^2}{x(x+2y)(x+2y) \cdot 4y^2} \cdot \frac{(2y-x)^2}{x+2y}
\]

\[
= \frac{-1(2y-x)}{2xy} = \frac{x-2y}{2xy}
\]