ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 156 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a)
\[
\left( \frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} \right) \left( x — \frac{x^2 + y^2}{x+y} \right)
\]

б)
\[
\left( a + b — \frac{2ab}{a+b} \right) : \left( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} \right)
\]

в)
\[
(x^2 — 1) \left( \frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+1} + 1 \right)
\]

г)
\[
\left( m + 1 — \frac{1}{1-m} \right) : \left( m — \frac{m^2}{m-1} \right)
\]

а)
\[
\left( \frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} \right) \left( x — \frac{x^2 + y^2}{x+y} \right) = 1
\]

б)
\[
\left( a + b — \frac{2ab}{a+b} \right) : \left( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} \right) = a
\]

в)
\[
(x^2 — 1) \left( \frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+1} + 1 \right) = x^2 + 1
\]

г)
\[
\left( m + 1 — \frac{1}{1-m} \right) : \left( m — \frac{m^2}{m-1} \right) = -m
\]

а) Упростите выражение

\[
\left( \frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} \right) \left( x — \frac{x^2 + y^2}{x+y} \right)
\]

1. Упростим первое выражение:
   \[
   \frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} = \frac{x-y + 2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}
   \]
2. Упростим второе выражение:
   \[
   x — \frac{x^2 + y^2}{x+y} = \frac{x(x+y) — (x^2 + y^2)}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y}
   \]
3. Перемножим упрощенные выражения:
   \[
   \frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{y(x-y)} = \frac{y(x-y)}{y(x-y)} = 1
   \]

Ответ: 1

б) Упростите выражение

\[
\left( a + b — \frac{2ab}{a+b} \right) : \left( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} \right)
\]

1. Упростим первое выражение:
   \[
   a + b — \frac{2ab}{a+b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — 2ab}{a+b} = \frac{a^2 + b^2}{a+b}
   \]
2. Упростим второе выражение:
   \[
   \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 — ab + b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}
   \]
3. Перемножим упрощенные выражения:
   \[
   \frac{a^2 + b^2}{a+b} \div \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} = a
   \]

Ответ: a

в) Упростите выражение

\[
(x^2 — 1) \left( \frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+1} + 1 \right)
\]

1. Упростим выражение в скобках:
   \[
   \frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+1} + 1 = \frac{(x+1) — (x-1) + (x^2-1)}{(x-1)(x+1)} =\]
2. \[\frac{x^2 + 1}{(x-1)(x+1)}
   \]
3. Перемножим с \(x^2 — 1\):
   \[
   (x^2 — 1) \cdot \frac{x^2 + 1}{(x-1)(x+1)} = x^2 + 1
   \]

Ответ: x^2 + 1

г) Упростите выражение

\[
\left( m + 1 — \frac{1}{1-m} \right) : \left( m — \frac{m^2}{m-1} \right)
\]

1. Упростим первое выражение:
   \[
   m + 1 — \frac{1}{1-m} = \frac{m(1-m) + 1(1-m) — 1}{1-m} = \frac{m^2 — 1}{1-m}
   \]
2. Упростим второе выражение:
   \[
   m — \frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1) — m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}
   \]
3. Перемножим упрощенные выражения:
   \[
   \frac{m^2 — 1}{1-m} \div \frac{-m}{m-1} = -m
   \]

Ответ: -m