ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 155 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \((a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} — \frac{1}{a-1}\right)\);

б) \(\left(1 — \frac{9x^2 + 4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} — \frac{1}{2}\right) + 1\);

в) \(1 — \left(\frac{2}{a-2} — \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a — \frac{3a + 2}{4}\right)\);

г) \((y^2 — 4) \left(\frac{3}{y+2} — \frac{2}{y-2}\right) + 5\).

Если вам нужно упростить эти выражения, дайте знать, и я помогу с решением.

a)
\[
\frac{a+1}{1-a}
\]

б)
\[
\left( 1 — \frac{9x^2 + 4}{12x} \right) : \left( \frac{1}{3x} — \frac{1}{2} \right) + 1 = \frac{3x}{2}
\]

в)
\[
\frac{a}{a+2}
\]

г)
\[
y — 5
\]

a) Упростите выражение:

\((a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} — \frac{1}{a-1}\right)\)

1. Заметим, что \(a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2\) и разложим \(a^2 — 1 = (a-1)(a+1)\).
2. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
   \(\frac{a-1}{(a-1)(a+1)} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} — \frac{a+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{-1}{(a-1)(a+1)}\)
3. Подставим обратно в выражение:
   \((a+1)^2 \cdot \frac{-1}{(a-1)(a+1)} = (a+1) \cdot \frac{-1}{a-1} = \frac{a+1}{1-a}\)

б)

Дано выражение:

\[
\left( 1 — \frac{9x^2 + 4}{12x} \right) : \left( \frac{1}{3x} — \frac{1}{2} \right) + 1 = \frac{3x}{2}
\]

1. Упростим первую часть выражения: \( 1 — \frac{9x^2 + 4}{12x} \)

Перепишем \( 1 \) как \( \frac{12x}{12x} \), чтобы привести к общему знаменателю:

\[
1 — \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x}{12x} — \frac{9x^2 + 4}{12x}
\]

Теперь, вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:

\[
\frac{12x — (9x^2 + 4)}{12x} = \frac{12x — 9x^2 — 4}{12x}
\]

Затем можно вынести \( -1 \) за скобки в числителе:

\[
\frac{-1(3x — 2)(3x — 2)}{12x}
\]

Шаги:

• Вычитание \( 12x — (9x^2 + 4) = -9x^2 + 12x — 4 \).
• Вынесение \( -1 \) из числителя: \( -1(3x — 2)(3x — 2) \).

Ответ: \( \frac{-1(3x — 2)(3x — 2)}{12x} \)

2. Упростим вторую часть выражения: \( \frac{1}{3x} — \frac{1}{2} \)

Приведем к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{3x} — \frac{1}{2} = \frac{2}{6x} — \frac{3x}{6x} = \frac{2 — 3x}{6x}
\]

Ответ: \( \frac{2 — 3x}{6x} \)

3. Теперь разделим первые две части выражения:

\[
\frac{-1(3x — 2)(3x — 2)}{12x} : \frac{2 — 3x}{6x}
\]

Это выражение можно записать как умножение на обратную дробь:

\[
\frac{-1(3x — 2)(3x — 2)}{12x} \cdot \frac{6x}{2 — 3x}
\]

Теперь упростим выражение:

В числителе умножаем: \( -1(3x — 2)(3x — 2) \cdot 6x = -6x(3x — 2)^2 \).

В знаменателе: \( 12x \cdot (-1)(3x — 2) = -12x(3x — 2) \).

Упростим числитель и знаменатель:

\[
\frac{-6x(3x — 2)^2}{-12x(3x — 2)} = \frac{3x — 2}{2}
\]

Ответ: \( \frac{3x — 2}{2} \)

4. Добавим 1 к полученному выражению:

\[
\frac{3x — 2}{2} + 1 = \frac{3x — 2}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3x}{2}
\]

Ответ: \( \frac{3x}{2} \)

в) Упростите выражение:

\(1 — \left(\frac{2}{a-2} — \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a — \frac{3a+2}{4}\right)\)

1. Упростим выражение в скобках:
   \(\frac{2}{a-2} — \frac{2}{a+2} = \frac{8}{(a-2)(a+2)}\)
2. Упростим второе выражение:
   \(a — \frac{3a+2}{4} = \frac{a-2}{4}\)
3. Подставим и упростим:
   \(1 — \frac{8}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{4} = 1 — \frac{2}{a+2} = \frac{a}{a+2}\)

г) Упростите выражение:

\((y^2 — 4) \left(\frac{3}{y+2} — \frac{2}{y-2}\right) + 5\)

1. Разложим \(y^2 — 4 = (y-2)(y+2)\).
2. Упростим выражение в скобках:
   \(\frac{3}{y+2} — \frac{2}{y-2} = \frac{y-10}{(y-2)(y+2)}\)
3. Подставим и упростим:
   \((y-2)(y+2) \cdot \frac{y-10}{(y-2)(y+2)} + 5 = y — 10 + 5 = y — 5\)