ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1330 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
2x^2 — xy = y^2 + 5, \\
x^2 — xy = y^2 + 1;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
3x^2 — 2y^2 = 2xy — 1, \\
2x^2 — y^2 = 2xy — 1.
\end{cases}
\]

Ответы:

a)
\((2; 1), (2; -3), (-2; 3), (-2; -1)\).

б)
\((1; 1), (-1; -1)\).

Задача a

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
2x^2 — xy = y^2 + 5, \\
x^2 — xy = y^2 + 1.
\end{cases}
\]

Шаг 1. Вычитаем второе уравнение из первого
\[
(2x^2 — xy) — (x^2 — xy) = (y^2 + 5) — (y^2 + 1),
\]
\[
x^2 = 4.
\]

Значит, \(x = 2\) или \(x = -2\).

Шаг 2. Рассмотрим случай \(x = 2\)

Подставляем \(x = 2\) во второе уравнение:
\[
x^2 — xy = y^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad 4 — 2y = y^2 + 1.
\]

Приводим к стандартному виду:
\[
y^2 + 2y — 3 = 0.
\]

Решаем квадратное уравнение:
\[
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.
\]
\[
y_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = 1, \quad y_2 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 1} = -3.
\]

Решения для \(x = 2\): \((2; 1)\), \((2; -3)\).

Шаг 3. Рассмотрим случай \(x = -2\)

Подставляем \(x = -2\) во второе уравнение:
\[
x^2 — xy = y^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad 4 + 2y = y^2 + 1.
\]

Приводим к стандартному виду:
\[
y^2 — 2y — 3 = 0.
\]

Решаем квадратное уравнение:
\[
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.
\]
\[
y_1 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 1} = 3, \quad y_2 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 1} = -1.
\]

Решения для \(x = -2\): \((-2; 3)\), \((-2; -1)\).

Ответ для задачи a:
\[
(2; 1), \ (2; -3), \ (-2; 3), \ (-2; -1).
\]

Задача б

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
3x^2 — 2y^2 = 2xy — 1, \\
2x^2 — y^2 = 2xy — 1.
\end{cases}
\]

Шаг 1. Вычитаем второе уравнение из первого
\[
(3x^2 — 2y^2) — (2x^2 — y^2) = (2xy — 1) — (2xy — 1),
\]
\[
x^2 — y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = y^2.
\]

Значит, \(y = x\) или \(y = -x\).

Шаг 2. Рассмотрим случай \(y = x\)

Подставляем \(y = x\) во второе уравнение:
\[
2x^2 — x^2 = 2x^2 — 1,
\]
\[
x^2 = 1.
\]

Получаем:
\[
x = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 1, \quad \text{и} \quad x = -1 \quad \Rightarrow \quad y = -1.
\]

Решения: \((1; 1)\), \((-1; -1)\).

Шаг 3. Рассмотрим случай \(y = -x\)

Подставляем \(y = -x\) во второе уравнение:
\[
2x^2 — (-x)^2 = 2x(-x) — 1,
\]
\[
2x^2 — x^2 = -2x^2 — 1,
\]
\[
3x^2 = -1.
\]

Это уравнение не имеет решений, так как \(x^2 \geq 0\).

Ответ для задачи б:
\[
(1; 1), \ (-1; -1).
\]