ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1329 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
2x^2 + 4xy — 5y = 1, \\
x^2 + xy — 6y^2 = 0;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
x(3x — 2y) = y^2, \\
3y^2 = 2x(x + 2) — 3.
\end{cases}
\]

Ответ для задачи a:

\[
\left(\frac{5 + \sqrt{89}}{16}; \frac{5 + \sqrt{89}}{32}\right), \quad
\left(\frac{5 — \sqrt{89}}{16}; \frac{5 — \sqrt{89}}{32}\right), \quad
(-3; 1) \quad \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right).
\]

Ответ для задачи б:

\[
(1; 1), \quad (3; 3).
\]

Задача a)

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
2x^2 + 4xy — 5y = 1, \\
x^2 + xy — 6y^2 = 0.
\end{cases}
\]

Шаг 1: Разложение второго уравнения

Второе уравнение \( x^2 + xy — 6y^2 = 0 \) раскладывается как:
\[
x^2 + xy — 6y^2 = (x — 2y)(x + 3y) = 0.
\]

Отсюда возможны два случая:
1. \( x — 2y = 0 \), то есть \( x = 2y \),
2. \( x + 3y = 0 \), то есть \( x = -3y \).

Шаг 2: Первый случай \( x = 2y \)

Подставляем \( x = 2y \) в первое уравнение:
\[
2(2y)^2 + 4(2y)y — 5y = 1.
\]

Упростим:
\[
8y^2 + 8y^2 — 5y = 1 \quad \Rightarrow \quad 16y^2 — 5y — 1 = 0.
\]

Решим квадратное уравнение \( 16y^2 — 5y — 1 = 0 \) по формуле дискриминанта:
\[
D = (-5)^2 — 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 25 + 64 = 89.
\]

Корни:
\[
y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{89}}{2 \cdot 16} = \frac{5 + \sqrt{89}}{32}, \quad
y_2 = \frac{-(-5) — \sqrt{89}}{2 \cdot 16} = \frac{5 — \sqrt{89}}{32}.
\]

Соответствующие значения \( x \):
\[
x_1 = 2y_1 = \frac{5 + \sqrt{89}}{16}, \quad
x_2 = 2y_2 = \frac{5 — \sqrt{89}}{16}.
\]

Шаг 3: Второй случай \( x = -3y \)

Подставляем \( x = -3y \) в первое уравнение:
\[
2(-3y)^2 + 4(-3y)y — 5y = 1.
\]

Упростим:
\[
18y^2 — 12y^2 — 5y = 1 \quad \Rightarrow \quad 6y^2 — 5y — 1 = 0.
\]

Решим квадратное уравнение \( 6y^2 — 5y — 1 = 0 \):
\[
D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49.
\]

Корни:
\[
y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = 1, \quad
y_2 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 — 7}{12} = -\frac{1}{6}.
\]

Соответствующие значения \( x \):
\[
x_1 = -3y_1 = -3 \cdot 1 = -3, \quad
x_2 = -3y_2 = -3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2}.
\]

Ответ для задачи a:

\[
\left(\frac{5 + \sqrt{89}}{16}; \frac{5 + \sqrt{89}}{32}\right), \quad
\left(\frac{5 — \sqrt{89}}{16}; \frac{5 — \sqrt{89}}{32}\right), \quad
(-3; 1), \quad \left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}\right).
\]

Задача б)

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
x(3x — 2y) = y^2, \\
3y^2 = 2x(x + 2) — 3.
\end{cases}
\]

Шаг 1: Преобразование первого уравнения

Раскроем скобки:
\[
3x^2 — 2xy = y^2 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 — 2xy — y^2 = 0.
\]

Заметим, что это уравнение можно записать как:
\[
(3x — y)(x + y) = 0.
\]

Отсюда возможны два случая:
1. \( 3x — y = 0 \), то есть \( y = 3x \),
2. \( x + y = 0 \), то есть \( y = -x \).

Шаг 2: Первый случай \( y = 3x \)

Подставляем \( y = 3x \) во второе уравнение:
\[
3(3x)^2 = 2x(x + 2) — 3.
\]

Упростим:
\[
27x^2 = 2x^2 + 4x — 3 \quad \Rightarrow \quad 25x^2 — 4x — 3 = 0.
\]

Решим квадратное уравнение \( 25x^2 — 4x — 3 = 0 \):
\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 25 \cdot (-3) = 16 + 300 = 316.
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{316}}{2 \cdot 25}, \quad
x_2 = \frac{-(-4) — \sqrt{316}}{2 \cdot 25}.
\]

Шаг 3: Второй случай \( y = -x \)

Подставляем \( y = -x \) во второе уравнение:
\[
3(-x)^2 = 2x(x + 2) — 3.
\]

Упростим:
\[
3x^2 = 2x^2 + 4x — 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 4x + 3 = 0.
\]

Решим квадратное уравнение \( x^2 — 4x + 3 = 0 \):
\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad
x_2 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1.
\]

Соответствующие значения \( y \):
\[
y_1 = -x_1 = -3, \quad
y_2 = -x_2 = -1.
\]

Ответ для задачи б:

\[
(1; 1), \quad (3; 3).
\]