ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1324 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите решения системы уравнений:
а)
\[
\begin{cases}
(2x — y)(2x + y) = 3, \\
2y — 3(x + y) = -4;
\end{cases}
\]
б)
\[
\begin{cases}
2(x — y) + y = 5, \\
(2x — y)^2 = 5x + 15.
\end{cases}
\]
а)
\[
\begin{cases}
(2x — y)(2x + y) = 3, \\
2y — 3(x + y) = -4
\end{cases}
\]
Решение:
\[
\begin{cases}
4x^2 — y^2 = 3, \\
-y — 3x = -4
\end{cases}
\]
Подставляем \(y = 4 — 3x\) во второе уравнение:
\[
4x^2 — (4 — 3x)^2 = 3
\]
Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду:
\[
-5x^2 + 24x — 19 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-24)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 19 = 196 > 0
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{24 + 14}{2 \cdot 5} = 3,8, \quad x_2 = \frac{24 — 14}{2 \cdot 5} = 1
\]
Соответствующие значения \(y\):
\[
y_1 = 4 — 3 \cdot 3,8 = -7,4, \quad y_2 = 4 — 3 \cdot 1 = 1
\]
Ответ:
\[
(1; 1), \, (3,8; -7,4)
\]
б)
\[
\begin{cases}
2(x — y) + y = 5, \\
(2x — y)^2 = 5x + 15
\end{cases}
\]
Решение:
\[
\begin{cases}
2x — y = 5, \\
4x^2 — 4xy + y^2 = 5x + 15
\end{cases}
\]
Подставляем \(y = 2x — 5\) во второе уравнение:
\[
4x^2 — 4x(2x — 5) + (2x — 5)^2 = 5x + 15
\]
Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду:
\[
-5x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
Соответствующее значение \(y\):
\[
y = 2 \cdot 2 — 5 = -1
\]
Ответ:
\[
(2; -1)
\]
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
y — x^2 = -1, \\
y — 2x = 1
\end{cases}
\]
Шаг 1: Приведем систему уравнений к удобному виду. Начнем с преобразования второго уравнения:
Во втором уравнении \( y — 2x = 1 \), выражаем \( y \) через \( x \):
\( y = 2x + 1 \)
Шаг 2: Подставим \( y = 2x + 1 \) во первое уравнение:
Подставляем в первое уравнение \( y — x^2 = -1 \), получаем:
\( (2x + 1) — x^2 = -1 \)
Раскрываем скобки:
\( 2x + 1 — x^2 = -1 \)
Теперь упрощаем:
\( -x^2 + 2x + 1 + 1 = 0 \)
\( -x^2 + 2x + 2 = 0 \)
Шаг 3: Умножим на -1, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
\( x^2 — 2x — 2 = 0 \)
Шаг 4: Решим это квадратное уравнение с использованием формулы для нахождения корней:
Дискриминант \( D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \)
Шаг 5: Находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + \sqrt{12}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \)
\( x_2 = \frac{-(-2) — \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — \sqrt{12}}{2} = \frac{2 — 2\sqrt{3}}{2} = 1 — \sqrt{3} \)
Шаг 6: Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого значения \( x \):
Для \( x_1 = 1 + \sqrt{3} \), подставляем в \( y = 2x + 1 \):
\( y_1 = 2(1 + \sqrt{3}) + 1 = 2 + 2\sqrt{3} + 1 = 3 + 2\sqrt{3} \)
Для \( x_2 = 1 — \sqrt{3} \), подставляем в \( y = 2x + 1 \):
\( y_2 = 2(1 — \sqrt{3}) + 1 = 2 — 2\sqrt{3} + 1 = 3 — 2\sqrt{3} \)
Ответ: \( (1 + \sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{3}) \) и \( (1 — \sqrt{3}, 3 — 2\sqrt{3}) \).
Задача (б)
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
xy — 1 = 0, \\
y + x^2 = 3
\end{cases}
\]
Шаг 1: Преобразуем первое уравнение, чтобы выразить \( y \) через \( x \):
Из первого уравнения \( xy — 1 = 0 \), выражаем \( y \):
\( y = \frac{1}{x} \)
Шаг 2: Подставим \( y = \frac{1}{x} \) во второе уравнение \( y + x^2 = 3 \):
Получаем:
\( \frac{1}{x} + x^2 = 3 \)
Умножим обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):
\( 1 + x^3 = 3x \)
Приводим все к одному виду:
\( x^3 — 3x + 1 = 0 \)
Шаг 3: Попробуем найти корни этого кубического уравнения с помощью подбора. Для \( x = 1 \):
\( 1^3 — 3 \cdot 1 + 1 = 1 — 3 + 1 = -1 \) — это не корень.
Для \( x = -1 \):
\( (-1)^3 — 3 \cdot (-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \) — это не корень.
Для \( x = 1 \):
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.