Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1294 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \( n \), большем 2, корни уравнения
\( x + \frac{1}{x} = n \) — иррациональные числа.
При \( x > 2 \) \( x + \frac{1}{x} = n \), \( x \neq 0 \)
\( x^2 — nx + 1 = 0 \)
\( D = b^2 — 4ac = (-n)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 — 4 \)
Если \( n^2 — 4 = 0 \), то один корень.
\( (n — 2)(n + 2) = 0 \)
\( n — 2 = 0 \) или \( n + 2 = 0 \)
\( n = 2 \), \( n = -2 \) — не натуральное число.
Если \( n^2 — 4 < 0 \), то нет корней.
Если \( n^2 — 4 > 0 \), то 2 корня.
\(\sqrt{D} = \sqrt{n^2 — 4} \)
\[
x_1 = \frac{n + \sqrt{n^2 — 4}}{2}, \quad x_2 = \frac{n — \sqrt{n^2 — 4}}{2}
\]
Уравнение: \(x^2 — nx + 1 = 0\)
Шаг 1: Найдём дискриминант \(D\):
\(D = b^2 — 4ac = (-n)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 — 4\)
Шаг 2: Рассмотрим случаи для \(n^2 — 4\):
Если \(n^2 — 4 = 0\), то уравнение имеет один корень.
Если \(n^2 — 4 < 0\), то у уравнения нет корней.
Если \(n^2 — 4 > 0\), то уравнение имеет два корня.
Шаг 3: Решение при \(n^2 — 4 > 0\):
\[
x_1 = \frac{n + \sqrt{n^2 — 4}}{2}, \quad x_2 = \frac{n — \sqrt{n^2 — 4}}{2}
\]
Шаг 4: Проверка для натуральных \(n > 2\):
Для \(n = 3\), \(n^2 — 4 = 9 — 4 = 5 > 0\), уравнение имеет два корня.
Для \(n = 4\), \(n^2 — 4 = 16 — 4 = 12 > 0\), уравнение имеет два корня.
Таким образом, для любого натурального \(n > 2\), уравнение имеет два иррациональных корня.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.