ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1294 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном \( n \), большем 2, корни уравнения
\( x + \frac{1}{x} = n \) — иррациональные числа.

При \( x > 2 \) \( x + \frac{1}{x} = n \), \( x \neq 0 \)
\( x^2 — nx + 1 = 0 \)
\( D = b^2 — 4ac = (-n)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 — 4 \)

Если \( n^2 — 4 = 0 \), то один корень.
\( (n — 2)(n + 2) = 0 \)
\( n — 2 = 0 \) или \( n + 2 = 0 \)
\( n = 2 \), \( n = -2 \) — не натуральное число.

Если \( n^2 — 4 < 0 \), то нет корней.
Если \( n^2 — 4 > 0 \), то 2 корня.
\(\sqrt{D} = \sqrt{n^2 — 4} \)

\[
x_1 = \frac{n + \sqrt{n^2 — 4}}{2}, \quad x_2 = \frac{n — \sqrt{n^2 — 4}}{2}
\]

Уравнение: \(x^2 — nx + 1 = 0\)

Шаг 1: Найдём дискриминант \(D\):
\(D = b^2 — 4ac = (-n)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 — 4\)

Шаг 2: Рассмотрим случаи для \(n^2 — 4\):

Если \(n^2 — 4 = 0\), то уравнение имеет один корень.

Если \(n^2 — 4 < 0\), то у уравнения нет корней.

Если \(n^2 — 4 > 0\), то уравнение имеет два корня.

Шаг 3: Решение при \(n^2 — 4 > 0\):
\[
x_1 = \frac{n + \sqrt{n^2 — 4}}{2}, \quad x_2 = \frac{n — \sqrt{n^2 — 4}}{2}
\]

Шаг 4: Проверка для натуральных \(n > 2\):

Для \(n = 3\), \(n^2 — 4 = 9 — 4 = 5 > 0\), уравнение имеет два корня.

Для \(n = 4\), \(n^2 — 4 = 16 — 4 = 12 > 0\), уравнение имеет два корня.

Таким образом, для любого натурального \(n > 2\), уравнение имеет два иррациональных корня.