ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1288 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пара чисел \(x = 3\), \(y = 2\) является решением уравнения \((x + y\sqrt{2})(x — y\sqrt{2}) = 1\). Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

x = 3, y = 2.
\((x + y\sqrt{2})(x — y\sqrt{2}) = 1\)
\((x + y\sqrt{2})(x — y\sqrt{2}) = x^2 — 2y^2 = 1\)
\(((x + y\sqrt{2})(x — y\sqrt{2}))^n = 1^n\), можно представить в виде \(a + b\sqrt{2}\).

Проверим, \(n = 3\).
\((x + y\sqrt{2})^3 = x^3 + 3x^2y\sqrt{2} + 6xy^2 + 2y^3\sqrt{2} =\)

\((x^3 + 6xy^2) + (3x^2y + 2y^3)\sqrt{2}\)
\((x — y\sqrt{2})^3 = x^3 — 3x^2y\sqrt{2} + 6xy^2 — 2y^3\sqrt{2} =\)

\((x^3 + 6xy^2) + (-3x^2y — 2y^3)\sqrt{2}\), тогда

\(a = x^3 + 6xy^2 = 3^3 + 6 \cdot 3 \cdot 2^2 = 27 + 18 \cdot 4 = 27 + 72 = 99\)
\(b = 3x^2y + 2y^3 = 3 \cdot 3^2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^3 = 6 \cdot 9 + 2 \cdot 8 = 54 + 16 = 70\)

Значит, \((99, 70)\) — решение уравнения.

Проверка:
\((99 + 70\sqrt{2})(99 — 70\sqrt{2}) = 99^2 — 70^2 \cdot 2 =\)

\( 9801 — 4900 \cdot 2 = 9801 — 9800 = 1\)

Дано уравнение:

(x + y√2)(x — y√2) = 1

Раскрывая скобки, получаем:

x² — 2y² = 1

Покажем, что существует бесконечно много пар натуральных чисел (x, y), удовлетворяющих этому уравнению. Для этого рассмотрим выражение:

((x + y√2)(x — y√2))ⁿ = 1ⁿ

Это выражение можно представить в виде:

a + b√2

Проверка для n = 3

Рассчитаем (x + y√2)³:

Теперь рассчитаем (x — y√2)³:

Таким образом, коэффициенты a и b вычисляются следующим образом:

Пример для x = 3, y = 2

Подставим значения x = 3, y = 2:

Получаем решение (99, 70).

Проверка

Проверим, что пара (99, 70) удовлетворяет исходному уравнению:

Таким образом, пара (99, 70) действительно является решением.

Вывод

С помощью метода возведения в степень доказано, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x² — 2y² = 1.