ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1287 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида \(a + b\sqrt{2}\), где \(a\) и \(b\) — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.

Краткий ответ:

\[
a = \frac{cx — 2py}{x^2 — 2y^2}, \quad b = \frac{cy + px}{x^2 — 2y^2}.
\]

Подробный ответ:

Рассмотрим числа вида \(c + p\sqrt{2}\) и \(x + y\sqrt{2}\). Докажем, что сумма, разность, произведение и частное этих чисел также представимы в виде \(a + b\sqrt{2}\), где \(a\) и \(b\) — рациональные числа.

1. Сумма

Сложим два числа:

\[
(c + p\sqrt{2}) + (x + y\sqrt{2}) = (c + x) + \sqrt{2}(p + y)
\]

Очевидно, результат также имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:

\(a = c + x, \quad b = p + y\)

2. Разность

Вычтем одно число из другого:

\[
(c + p\sqrt{2}) — (x + y\sqrt{2}) = (c — x) + \sqrt{2}(p — y)
\]

Результат также имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:

\(a = c — x, \quad b = p — y\)

3. Произведение

Перемножим два числа:

\[
(c + p\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = cx + cy\sqrt{2} + px\sqrt{2} + 2py
\]

Сгруппируем члены:

\[
= (cx + 2py) + \sqrt{2}(cy + px)
\]

Результат имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:

\(a = cx + 2py, \quad b = cy + px\)

4. Частное

Разделим одно число на другое:

\[
\frac{c + p\sqrt{2}}{x + y\sqrt{2}}
\]

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя:

\[
\frac{(c + p\sqrt{2})(x — y\sqrt{2})}{(x + y\sqrt{2})(x — y\sqrt{2})}
\]

В знаменателе получится:

\[
x^2 — 2y^2
\]

В числителе после раскрытия скобок:

\[
(cx — 2py) + \sqrt{2}(cy + px)
\]

Результат имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:

\(a = \frac{cx — 2py}{x^2 — 2y^2}, \quad b = \frac{cy + px}{x^2 — 2y^2}\)

Вывод

Мы доказали, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида \(a + b\sqrt{2}\) также представимы в этом виде.

Оцени решение