Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1287 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида \(a + b\sqrt{2}\), где \(a\) и \(b\) — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.
\[
a = \frac{cx — 2py}{x^2 — 2y^2}, \quad b = \frac{cy + px}{x^2 — 2y^2}.
\]
Рассмотрим числа вида \(c + p\sqrt{2}\) и \(x + y\sqrt{2}\). Докажем, что сумма, разность, произведение и частное этих чисел также представимы в виде \(a + b\sqrt{2}\), где \(a\) и \(b\) — рациональные числа.
1. Сумма
Сложим два числа:
(c + p\sqrt{2}) + (x + y\sqrt{2}) = (c + x) + \sqrt{2}(p + y)
\]
Очевидно, результат также имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:
2. Разность
Вычтем одно число из другого:
(c + p\sqrt{2}) — (x + y\sqrt{2}) = (c — x) + \sqrt{2}(p — y)
\]
Результат также имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:
3. Произведение
Перемножим два числа:
(c + p\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = cx + cy\sqrt{2} + px\sqrt{2} + 2py
\]
Сгруппируем члены:
= (cx + 2py) + \sqrt{2}(cy + px)
\]
Результат имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:
4. Частное
Разделим одно число на другое:
\frac{c + p\sqrt{2}}{x + y\sqrt{2}}
\]
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя:
\frac{(c + p\sqrt{2})(x — y\sqrt{2})}{(x + y\sqrt{2})(x — y\sqrt{2})}
\]
В знаменателе получится:
x^2 — 2y^2
\]
В числителе после раскрытия скобок:
(cx — 2py) + \sqrt{2}(cy + px)
\]
Результат имеет вид \(a + b\sqrt{2}\), где:
Вывод
Мы доказали, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида \(a + b\sqrt{2}\) также представимы в этом виде.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.