Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1285 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Функция \(y\) от \(x\) задана формулой \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\),
где \(ad — bc \neq 0\).
Пусть значениям аргумента \(x_1, x_2, x_3\) и \(x_4\) соответствуют значения функции \(y_1, y_2, y_3\) и \(y_4\). Докажите, что
\[
\frac{y_3 — y_1}{y_3 — y_2} \cdot \frac{y_4 — y_1}{y_4 — y_2} = \frac{x_3 — x_1}{x_3 — x_2} \cdot \frac{x_4 — x_1}{x_4 — x_2}.
\]
\frac{y_3 — y_1}{y_3 — y_2} \cdot \frac{y_4 — y_1}{y_4 — y_2} =
\frac{x_3 — x_1}{x_3 — x_2} \cdot \frac{x_4 — x_1}{x_4 — x_2}.
\]
Шаг 1: Выражение для разностей
Найдем разности значений функции \(y\):
y_3 — y_1 = \frac{ax_3 + b}{cx_3 + d} — \frac{ax_1 + b}{cx_1 + d}.
\]
Приведем к общему знаменателю:
y_3 — y_1 = \frac{(ax_3 + b)(cx_1 + d) — (ax_1 + b)(cx_3 + d)}{(cx_3 + d)(cx_1 + d)}.
\]
Раскроем скобки:
y_3 — y_1 = \frac{acx_1x_3 + adx_3 + bcx_1 + bd — acx_1x_3 — adx_1 — bcx_3 — bd}{(cx_3 + d)(cx_1 + d)}.
\]
После сокращения получаем:
y_3 — y_1 = \frac{ad(x_3 — x_1) — bc(x_3 — x_1)}{(cx_3 + d)(cx_1 + d)}.
\]
Вынесем общий множитель:
y_3 — y_1 = \frac{(x_3 — x_1)(ad — bc)}{(cx_3 + d)(cx_1 + d)}.
\]
Шаг 2: Аналогичные вычисления для других разностей
Для \(y_3 — y_2\):
y_3 — y_2 = \frac{(x_3 — x_2)(ad — bc)}{(cx_3 + d)(cx_2 + d)}.
\]
Для \(y_4 — y_1\):
y_4 — y_1 = \frac{(x_4 — x_1)(ad — bc)}{(cx_4 + d)(cx_1 + d)}.
\]
Для \(y_4 — y_2\):
y_4 — y_2 = \frac{(x_4 — x_2)(ad — bc)}{(cx_4 + d)(cx_2 + d)}.
\]
Шаг 3: Подстановка в исходное равенство
Подставим найденные выражения в левую часть равенства:
\frac{y_3 — y_1}{y_3 — y_2} \cdot \frac{y_4 — y_1}{y_4 — y_2} =
\frac{\frac{(x_3 — x_1)(ad — bc)}{(cx_3 + d)(cx_1 + d)}}{\frac{(x_3 — x_2)(ad — bc)}{(cx_3 + d)(cx_2 + d)}} \cdot
\frac{\frac{(x_4 — x_1)(ad — bc)}{(cx_4 + d)(cx_1 + d)}}{\frac{(x_4 — x_2)(ad — bc)}{(cx_4 + d)(cx_2 + d)}}.
\]
Сократим общий множитель \((ad — bc)\):
\frac{y_3 — y_1}{y_3 — y_2} \cdot \frac{y_4 — y_1}{y_4 — y_2} =
\frac{(x_3 — x_1)}{(x_3 — x_2)} \cdot \frac{(x_4 — x_1)}{(x_4 — x_2)}.
\]
Шаг 4: Результат
Таким образом, доказано, что:
\frac{y_3 — y_1}{y_3 — y_2} \cdot \frac{y_4 — y_1}{y_4 — y_2} =
\frac{x_3 — x_1}{x_3 — x_2} \cdot \frac{x_4 — x_1}{x_4 — x_2}.
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.