ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1284 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

\[
\text{Упростите выражение:}
\]
\[
\frac{\left(p^2 — \frac{1}{q^2}\right)^p \cdot \left(p — \frac{1}{q}\right)^q}{\left(q^2 — \frac{1}{p^2}\right)^q \cdot \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}}
\]
\[
\text{Укажите допустимые значения.}
\]

Краткий ответ:

Допустимые значения:
\[
q \neq 0, \, p \neq 0, \, |p| \neq 1, \, |q| \neq 1.
\]

Подробный ответ:

\[
\frac{\left(p^2 — \frac{1}{q^2}\right)^p \cdot \left(p — \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q^2 — \frac{1}{p^2}\right)^q \cdot \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}}
\]

Шаг 1: Преобразование выражений в числителе и знаменателе

Начнем с упрощения каждого элемента:

Числитель:
\[
\left(p^2 — \frac{1}{q^2}\right) = \frac{p^2q^2 — 1}{q^2}, \quad \left(p — \frac{1}{q}\right) = \frac{pq — 1}{q}
\]
Знаменатель:
\[
\left(q^2 — \frac{1}{p^2}\right) = \frac{q^2p^2 — 1}{p^2}, \quad \left(q + \frac{1}{p}\right) = \frac{pq + 1}{p}
\]

Шаг 2: Подстановка упрощенных выражений

Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:

\[
\frac{\left(\frac{p^2q^2 — 1}{q^2}\right)^p \cdot \left(\frac{pq — 1}{q}\right)^{q-p}}{\left(\frac{q^2p^2 — 1}{p^2}\right)^q \cdot \left(\frac{pq + 1}{p}\right)^{p-q}}
\]

Шаг 3: Сокращение одинаковых множителей

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\[
\frac{\frac{(pq-1)(pq+1)}{q^2} \cdot \frac{pq-1}{q}}{\frac{(pq-1)(pq+1)}{p^2} \cdot \frac{pq+1}{p}}
\]
После сокращения получаем:
\[
\frac{p}{q} \cdot \frac{1}{q^{q-p}} \cdot \frac{p^{p-q}}{q^{p-q}}
\]

Шаг 4: Финальное упрощение

Объединим степени и получим окончательный результат:

\[
\left(\frac{p}{q}\right)^{q+p}
\]

Допустимые значения

Для корректности выражения необходимо учитывать ограничения:

\(q \neq 0\)
\(p \neq 0\)
\(|p| \neq 1\)
\(|q| \neq 1\)

Оцени решение