Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1284 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
\[
\text{Упростите выражение:}
\]
\[
\frac{\left(p^2 — \frac{1}{q^2}\right)^p \cdot \left(p — \frac{1}{q}\right)^q}{\left(q^2 — \frac{1}{p^2}\right)^q \cdot \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}}
\]
\[
\text{Укажите допустимые значения.}
\]
Допустимые значения:
\[
q \neq 0, \, p \neq 0, \, |p| \neq 1, \, |q| \neq 1.
\]
\[
\frac{\left(p^2 — \frac{1}{q^2}\right)^p \cdot \left(p — \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q^2 — \frac{1}{p^2}\right)^q \cdot \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}}
\]
Шаг 1: Преобразование выражений в числителе и знаменателе
Начнем с упрощения каждого элемента:
Числитель:
\[
\left(p^2 — \frac{1}{q^2}\right) = \frac{p^2q^2 — 1}{q^2}, \quad \left(p — \frac{1}{q}\right) = \frac{pq — 1}{q}
\]
Знаменатель:
\[
\left(q^2 — \frac{1}{p^2}\right) = \frac{q^2p^2 — 1}{p^2}, \quad \left(q + \frac{1}{p}\right) = \frac{pq + 1}{p}
\]
Шаг 2: Подстановка упрощенных выражений
Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:
\frac{\left(\frac{p^2q^2 — 1}{q^2}\right)^p \cdot \left(\frac{pq — 1}{q}\right)^{q-p}}{\left(\frac{q^2p^2 — 1}{p^2}\right)^q \cdot \left(\frac{pq + 1}{p}\right)^{p-q}}
\]
Шаг 3: Сокращение одинаковых множителей
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
\frac{\frac{(pq-1)(pq+1)}{q^2} \cdot \frac{pq-1}{q}}{\frac{(pq-1)(pq+1)}{p^2} \cdot \frac{pq+1}{p}}
\]
После сокращения получаем:
\[
\frac{p}{q} \cdot \frac{1}{q^{q-p}} \cdot \frac{p^{p-q}}{q^{p-q}}
\]
Шаг 4: Финальное упрощение
Объединим степени и получим окончательный результат:
\left(\frac{p}{q}\right)^{q+p}
\]
Допустимые значения
Для корректности выражения необходимо учитывать ограничения:
- \(q \neq 0\)
- \(p \neq 0\)
- \(|p| \neq 1\)
- \(|q| \neq 1\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.