Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1282 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите все целые значения функции, которые она принимает при целых \(x\).
Функция:
\[
y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x — x^2}} — \sqrt{12 — 2\sqrt{35 + 2x — x^2}}
\]
1. Функция:
\[
y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x — x^2}} — \sqrt{12 — 2\sqrt{35 + 2x — x^2}}
\]
2. Упрощение:
\[
y = 2\sqrt{6 — |x — 1|}
\]
3. Условие для целых значений:
\[
6 — |x — 1| = k^2, \, k^2 \leq 6
\]
4. Возможные значения \(k\): \(k = 0, 1, 2\).
Соответствующие \(x\): \(x = 7, -5, 6, -4, 3, -1\).
5. Значения \(y\): \(y = 0, 2, 4\).
Ответ:*\(y = 0, 2, 4\).
Дана функция:
y = √(12 + 2√(35 + 2x — x²)) — √(12 — 2√(35 + 2x — x²))
Шаг 1: Возведение в квадрат
Возведем обе части уравнения в квадрат:
y² = (√(12 + 2√(35 + 2x — x²)) — √(12 — 2√(35 + 2x — x²)))²
Применим формулу квадрата разности:
y² = (12 + 2√(35 + 2x — x²)) + (12 — 2√(35 + 2x — x²)) — 2√((12 + 2√(35 + 2x — x²))(12 — 2√(35 + 2x — x²)))
Сократим:
y² = 24 — 2√((12 + 2√(35 + 2x — x²))(12 — 2√(35 + 2x — x²)))
Шаг 2: Раскрытие произведения
Раскроем произведение под корнем:
(12 + 2√(35 + 2x — x²))(12 — 2√(35 + 2x — x²)) = 144 — 4(35 + 2x — x²)
Подставим это обратно:
y² = 24 — 2√(144 — 140 — 8x + 4x²)
Упростим выражение под корнем:
y² = 24 — 2√(4 — 8x + 4x²)
Вынесем 4 за скобки:
y² = 24 — 2√(4(x² — 2x + 1)) = 24 — 2√(4(x — 1)²)
Вынесем корень:
y² = 24 — 4|x — 1|
Шаг 3: Выражение для y
Теперь запишем выражение для y:
y² = 4(6 — |x — 1|)
Следовательно:
y = 2√(6 — |x — 1|)
Шаг 4: Условия для целых значений
Для того, чтобы y было целым числом, выражение под корнем должно быть полным квадратом:
6 — |x — 1| = k², где k — целое число.
Отсюда:
|x — 1| = 6 — k²
Так как |x — 1| ≥ 0, то:
6 — k² ≥ 0 ⟹ k² ≤ 6
Переберем возможные значения k:
- k = 0 ⟹ |x — 1| = 6 ⟹ x — 1 = ±6 ⟹ x = 7 или x = -5
- k = 1 ⟹ |x — 1| = 5 ⟹ x — 1 = ±5 ⟹ x = 6 или x = -4
- k = 2 ⟹ |x — 1| = 2 ⟹ x — 1 = ±2 ⟹ x = 3 или x = -1
- k = 3 ⟹ |x — 1| = -3 (не подходит, так как модуль не может быть отрицательным)
Шаг 5: Значения y
Для найденных значений x вычислим y:
- При x = 7 или x = -5: y = 0
- При x = 6 или x = -4: y = 2
- При x = 3 или x = -1: y = 4
Ответ
Целые значения функции y: 0, 2, 4.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.