Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1280 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите три различные обыкновенные дроби вида
\[\frac{x}{x+1}\]
сумма которых равна натуральному числу.
Ответ: \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}\).
Шаг 1. Оценим сумму дробей
Обозначим дроби как \(\frac{c}{c+1}\), \(\frac{p}{p+1}\), \(\frac{y}{y+1}\). Тогда их сумма:
\frac{c}{c+1} + \frac{p}{p+1} + \frac{y}{y+1} = 2
\]
Каждая дробь больше \(\frac{1}{2}\), так как:
\frac{x}{x+1} \geq \frac{1}{2}, \; \text{если } x \geq 1.
\]
Следовательно, сумма трёх дробей находится в пределах:
1.5 \leq \frac{c}{c+1} + \frac{p}{p+1} + \frac{y}{y+1} < 3.
\]
Шаг 2. Подберём значения
Для упрощения вычислений положим \(c = 1\):
\frac{c}{c+1} = \frac{1}{2}.
\]
Оставшиеся дроби должны удовлетворять уравнению:
\frac{p}{p+1} + \frac{y}{y+1} = 2 — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
\]
Шаг 3. Решим уравнение
Умножим обе части на \((p+1)(y+1)\), чтобы избавиться от знаменателей:
(p+1)(y+1) \cdot \left( \frac{p}{p+1} + \frac{y}{y+1} \right) = \frac{3}{2}(p+1)(y+1).
\]
После упрощений получаем:
2(y+1) — 3(y+1) + 2y = 1.
\]
Решим это уравнение относительно \(y\):
y = 2.
\]
Шаг 4. Найдём оставшиеся дроби
Подставим \(y = 2\) в уравнения для дробей:
- \(\frac{y}{y+1} = \frac{2}{3}\),
- \(\frac{p}{p+1} = \frac{5}{6}\).
Ответ: \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.