Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1262 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Сократите дробь (n — целое число):
а)
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2}
\]
б)
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}
\]
а)
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2} = \frac{3^n(3^1 — 1)}{2} = \frac{3^n \cdot 2}{2} = 3^n
\]
б)
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1} = \frac{2^{-n}(2^{2n} + 1)}{4^n + 1} = \frac{2^{-n}(4^n + 1)}{4^n + 1} = 2^{-n}
\]
Задача (a)
Дано выражение:
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2}
\]
1. Вынесем общий множитель \(3^n\):
\[
3^{n+1} = 3 \cdot 3^n \quad \Rightarrow \quad 3^{n+1} — 3^n = 3 \cdot 3^n — 3^n = 3^n (3 — 1)
\]
2. Упростим скобки:
\[
3^n (3 — 1) = 3^n \cdot 2
\]
3. Подставим в исходное выражение:
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2} = \frac{3^n \cdot 2}{2}
\]
4. Сократим на 2:
\[
\frac{3^n \cdot 2}{2} = 3^n
\]
Ответ для (a):
\[
3^n
\]
Задача (б)
Дано выражение:
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}
\]
1. Представим \(4^n\) как \( (2^2)^n \):
\[
4^n = (2^2)^n = 2^{2n}
\]
2. Приведем числитель к общему знаменателю:
\[
2^n + 2^{-n} = \frac{2^{2n} + 1}{2^n}
\]
3. Подставим это в исходное выражение:
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1} = \frac{\frac{2^{2n} + 1}{2^n}}{2^{2n} + 1}
\]
4. Упростим дробь:
\[
\frac{\frac{2^{2n} + 1}{2^n}}{2^{2n} + 1} = \frac{2^{2n} + 1}{2^n \cdot (2^{2n} + 1)}
\]
5. Сократим на \(2^{2n} + 1\):
\[
\frac{2^{2n} + 1}{2^n \cdot (2^{2n} + 1)} = \frac{1}{2^n}
\]
6. Запишем результат:
\[
\frac{1}{2^n} = 2^{-n}
\]
Ответ для (б):
\[
2^{-n}
\]
Окончательный ответ:
1. Для (a):
\[
3^n
\]
2. Для (б):
\[
2^{-n}
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.