ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1262 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь (n — целое число):
а)
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2}
\]
б)
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}
\]

а)
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2} = \frac{3^n(3^1 — 1)}{2} = \frac{3^n \cdot 2}{2} = 3^n
\]

б)
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1} = \frac{2^{-n}(2^{2n} + 1)}{4^n + 1} = \frac{2^{-n}(4^n + 1)}{4^n + 1} = 2^{-n}
\]

Задача (a)
Дано выражение:
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2}
\]

1. Вынесем общий множитель \(3^n\):
\[
3^{n+1} = 3 \cdot 3^n \quad \Rightarrow \quad 3^{n+1} — 3^n = 3 \cdot 3^n — 3^n = 3^n (3 — 1)
\]

2. Упростим скобки:
\[
3^n (3 — 1) = 3^n \cdot 2
\]

3. Подставим в исходное выражение:
\[
\frac{3^{n+1} — 3^n}{2} = \frac{3^n \cdot 2}{2}
\]

4. Сократим на 2:
\[
\frac{3^n \cdot 2}{2} = 3^n
\]

Ответ для (a):
\[
3^n
\]

Задача (б)
Дано выражение:
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}
\]

1. Представим \(4^n\) как \( (2^2)^n \):
\[
4^n = (2^2)^n = 2^{2n}
\]

2. Приведем числитель к общему знаменателю:
\[
2^n + 2^{-n} = \frac{2^{2n} + 1}{2^n}
\]

3. Подставим это в исходное выражение:
\[
\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1} = \frac{\frac{2^{2n} + 1}{2^n}}{2^{2n} + 1}
\]

4. Упростим дробь:
\[
\frac{\frac{2^{2n} + 1}{2^n}}{2^{2n} + 1} = \frac{2^{2n} + 1}{2^n \cdot (2^{2n} + 1)}
\]

5. Сократим на \(2^{2n} + 1\):
\[
\frac{2^{2n} + 1}{2^n \cdot (2^{2n} + 1)} = \frac{1}{2^n}
\]

6. Запишем результат:
\[
\frac{1}{2^n} = 2^{-n}
\]

Ответ для (б):
\[
2^{-n}
\]