ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1261 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом целом n верно равенство:

a) \( 2^n + 2^n = 2^{n+1} \);
б) \( 2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1} \).

a) \( 2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} \)
б) \( 2 \cdot 3^n + 3^n = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1} \)

Часть a: Докажем равенство \( 2^n + 2^n = 2^{n+1} \)

1. Рассмотрим левую часть выражения:\( 2^n + 2^n \)

   Это сумма двух одинаковых слагаемых \( 2^n \), поэтому:

   \( 2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n \)

2. Применим свойство степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Для нашего случая:\( 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} \)
3. Таким образом, равенство доказано:\( 2^n + 2^n = 2^{n+1} \)

Часть b: Докажем равенство \( 2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1} \)

1. Рассмотрим левую часть выражения:\( 2 \cdot 3^n + 3^n \)

   Вынесем \( 3^n \) за скобки:

   \( 3^n \cdot (2 + 1) = 3^n \cdot 3 \)

2. Применим свойство степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Для нашего случая:\( 3^n \cdot 3 = 3^{n+1} \)
3. Таким образом, равенство доказано:\( 2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1} \)