ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1253 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби выражение:
а)

$x{y}^{-2}-x^{-2}y$

б)

${\left(\frac{x}{y}\right)}^{-1}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^{-2}$

в)

$mn(n-m{)}^{-2}-n(m-n{)}^{-1}$

г)

$(x^{-1}+y^{-1})(x^{-1}-y^{-1})$

а) \(xy^{-2} — x^{-2}y = \frac{x}{y^2} — \frac{y}{x^2} = \frac{x^3 — y^3}{x^2y^2}\)

б) \( \left(\frac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\frac{x}{y}\right)^{-2} = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy + y^2}{x^2} \)

в) \(mn(n — m)^{-2} — n(m — n)^{-1} = \frac{mn}{(m — n)^2} — \frac{n}{m — n} = \frac{mn — mn + n^2}{(m — n)^2} = \frac{n^2}{(m — n)^2}\)

г) \((x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} — y^{-1}) = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x} — \frac{1}{y}\right) = \frac{y + x}{xy} \cdot \frac{y — x}{xy} = \frac{y^2 — x^2}{x^2y^2}\)

а) Упростить \( xy^{-2} — x^{-2}y \)

Рассмотрим выражение:

\( xy^{-2} — x^{-2}y \)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\( \frac{x}{y^2} — \frac{y}{x^2} \)

Общий знаменатель равен \( x^2y^2 \). Преобразуем дроби:

\( \frac{x \cdot x^2 — y \cdot y^2}{x^2y^2} = \frac{x^3 — y^3}{x^2y^2} \)

Итак, результат:

\( \frac{x^3 — y^3}{x^2y^2} \)

Итак, дано уравнение:

\[
\left(\frac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\frac{x}{y}\right)^{-2} = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}
\]

Шаг 1: Преобразуем выражения с отрицательными степенями.

Первое выражение: \( \left(\frac{x}{y}\right)^{-1} \) можно записать как:

\[
\left(\frac{x}{y}\right)^{-1} = \frac{y}{x}
\]

Второе выражение: \( \left(\frac{x}{y}\right)^{-2} \) можно записать как:

\[
\left(\frac{x}{y}\right)^{-2} = \frac{y^2}{x^2}
\]

Шаг 2: Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

\[
\frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}
\]

Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для обеих дробей — это \( x^2 \). Приводим обе дроби:

\[
\frac{y}{x} = \frac{xy}{x^2}, \quad \frac{y^2}{x^2} = \frac{y^2}{x^2}
\]

Шаг 4: Теперь сложим дроби:

\[
\frac{xy}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy + y^2}{x^2}
\]

Ответ: \( \frac{xy + y^2}{x^2} \)

в) Упростить \( mn(n — m)^{-2} — n(m — n)^{-1} \)

Рассмотрим выражение:

\( mn(n — m)^{-2} — n(m — n)^{-1} \)

Преобразуем степени:

\( \frac{mn}{(m — n)^2} — \frac{n}{m — n} \)

Приведем к общему знаменателю \( (m — n)^2 \):

\( \frac{mn — n(m — n)}{(m — n)^2} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( \frac{mn — mn + n^2}{(m — n)^2} = \frac{n^2}{(m — n)^2} \)

Итак, результат:

\( \frac{n^2}{(m — n)^2} \)

г) Упростить \( (x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} — y^{-1}) \)

Рассмотрим выражение:

\( (x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} — y^{-1}) \)

Используем формулу разности квадратов:

\( (x^{-1})^2 — (y^{-1})^2 \)

Это равно:

\( \frac{1}{x^2} — \frac{1}{y^2} \)

Приведем к общему знаменателю \( x^2y^2 \):

\( \frac{y^2 — x^2}{x^2y^2} \)

Итак, результат:

\( \frac{y^2 — x^2}{x^2y^2} \)