Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1253 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Представьте в виде дроби выражение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
а) \(xy^{-2} — x^{-2}y = \frac{x}{y^2} — \frac{y}{x^2} = \frac{x^3 — y^3}{x^2y^2}\)
б) \(\left(\frac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\frac{y}{x}\right)^{-1} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{xy + yx}{xy} = 2\)
в) \(mn(n — m)^{-2} — n(m — n)^{-1} = \frac{mn}{(m — n)^2} — \frac{n}{m — n} = \frac{mn — mn + n^2}{(m — n)^2} = \frac{n^2}{(m — n)^2}\)
г) \((x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} — y^{-1}) = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x} — \frac{1}{y}\right) = \frac{y + x}{xy} \cdot \frac{y — x}{xy} = \frac{y^2 — x^2}{x^2y^2}\)
а) Упростить \( xy^{-2} — x^{-2}y \)
Рассмотрим выражение:
\( xy^{-2} — x^{-2}y \)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\( \frac{x}{y^2} — \frac{y}{x^2} \)
Общий знаменатель равен \( x^2y^2 \). Преобразуем дроби:
\( \frac{x \cdot x^2 — y \cdot y^2}{x^2y^2} = \frac{x^3 — y^3}{x^2y^2} \)
Итак, результат:
\( \frac{x^3 — y^3}{x^2y^2} \)
б) Упростить \( \left(\frac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\frac{y}{x}\right)^{-1} \)
Рассмотрим выражение:
\( \left(\frac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\frac{y}{x}\right)^{-1} \)
Возьмем обратные значения дробей:
\( \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \)
Приведем к общему знаменателю \( xy \):
\( \frac{y^2 + x^2}{xy} \)
Итак, результат:
\( \frac{y^2 + x^2}{xy} \)
в) Упростить \( mn(n — m)^{-2} — n(m — n)^{-1} \)
Рассмотрим выражение:
\( mn(n — m)^{-2} — n(m — n)^{-1} \)
Преобразуем степени:
\( \frac{mn}{(m — n)^2} — \frac{n}{m — n} \)
Приведем к общему знаменателю \( (m — n)^2 \):
\( \frac{mn — n(m — n)}{(m — n)^2} \)
Раскроем скобки в числителе:
\( \frac{mn — mn + n^2}{(m — n)^2} = \frac{n^2}{(m — n)^2} \)
Итак, результат:
\( \frac{n^2}{(m — n)^2} \)
г) Упростить \( (x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} — y^{-1}) \)
Рассмотрим выражение:
\( (x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} — y^{-1}) \)
Используем формулу разности квадратов:
\( (x^{-1})^2 — (y^{-1})^2 \)
Это равно:
\( \frac{1}{x^2} — \frac{1}{y^2} \)
Приведем к общему знаменателю \( x^2y^2 \):
\( \frac{y^2 — x^2}{x^2y^2} \)
Итак, результат:
\( \frac{y^2 — x^2}{x^2y^2} \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.