ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1249 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Постройте график функции
\[
y =
\begin{cases}
x^{-2}, & \text{если } -2 \leq x < -1, \\
x^2, & \text{если } -1 \leq x \leq 1, \\
x^{-2}, & \text{если } 1 < x \leq 2.
\end{cases}
\]

Сколько общих точек имеет этот график с прямой \( y = a \) в случае, когда:
а) \( a = 2 \);
б) \( a = 1 \);
в) \( a = \frac{1}{2} \);
г) \( a = 0 \)?

Краткий ответ:

\[
y =
\begin{cases}
x^{-2}, & \text{если } -2 \leq x < -1, \\
x^2, & \text{если } -1 \leq x \leq 1, \\
x^{-2}, & \text{если } 1 < x \leq 2.
\end{cases}
\]

— Для \[y = \frac{1}{x^2}\], если \(-2 \leq x < -1\):
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 \\
\hline
y & 0,25 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

— Для \[y = x^2\], если \(-1 \leq x \leq 1\):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -1 & 1 & 0 \\
\hline
y & 1 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

— Для \[y = \frac{1}{x^2}\], если \(1 < x \leq 2\):
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & 1 & 2 \\
\hline
y & 1 & 0,25 \\
\hline
\end{array}
\]

а) Если \(a = 2\), то нет общих точек.
б) Если \(a = 1\), то 2 общих точки.
в) Если \(a = \frac{1}{2}\), то 4 общие точки.
г) Если \(a = 0\), то 1 общая точка.

Подробный ответ:

a) Рассмотрим функцию:
\( y = \begin{cases}
x^{-2}, & \text{если } -2 \leq x < -1, \\
x^2, & \text{если } -1 \leq x \leq 1, \\
x^{-2}, & \text{если } 1 < x \leq 2.
\end{cases} \)Это piecewise (по частям) функция, которая имеет разные выражения для разных промежутков \(x\).

1. Первый промежуток \( -2 \leq x < -1 \):

Для этого промежутка функция записана как \( y = x^{-2} \), что означает \( y = \frac{1}{x^2} \).

Пример: Подставим \( x = -2 \):

Мы получаем \( y = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \).

Теперь подставим \( x = -1 \):

Получаем \( y = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1 \).

\( x \)	\( -2 \)	\( -1 \)
\( y \)	\( 0.25 \)	\( 1 \)

2. Второй промежуток \( -1 \leq x \leq 1 \):

Для этого промежутка функция записана как \( y = x^2 \).

Пример: Подставим \( x = -1 \):

Получаем \( y = (-1)^2 = 1 \).

Подставим \( x = 0 \):

Получаем \( y = 0^2 = 0 \).

Подставим \( x = 1 \):

Получаем \( y = 1^2 = 1 \).

\( x \)	\( -1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)
\( y \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)

3. Третий промежуток \( 1 < x \leq 2 \):

Для этого промежутка функция снова записана как \( y = x^{-2} \), что означает \( y = \frac{1}{x^2} \).

Пример: Подставим \( x = 1 \):

Получаем \( y = \frac{1}{1^2} = 1 \).

Подставим \( x = 2 \):

Получаем \( y = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \).

\( x \)	\( 1 \)	\( 2 \)
\( y \)	\( 1 \)	\( 0.25 \)

Ответ на вопросы:

Если \( a = 2 \), то нет общих точек.
Если \( a = 1 \), то 2 общие точки.
Если \( a = \frac{1}{2} \), то 4 общие точки.
Если \( a = 0 \), то 1 общая точка.

Оцени решение