ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1196 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
\]
при любом целом \( n \), \( a \neq 0 \) и \( b \neq 0 \).

\[
\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.
\]

Докажем, что:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

Начнем с левой части выражения:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} \)

По определению отрицательной степени, это можно записать как:

\( \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} \)

Рассмотрим выражение \( \left(\frac{a}{b}\right)^n \):

\( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Подставляя это в выражение из пункта 1, получаем:

\( \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} \)

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства:

\( \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

Это выражение также равно:

\( \frac{b^n}{a^n} \)

Сравниваем результаты:

Обе части равенства приводят к одному и тому же выражению:

\( \frac{b^n}{a^n} \)

Таким образом, мы доказали, что:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)