ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1189 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:
1. \( (a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1} \);
2. \( (a — b)^{-2}(a^{-2} — b^{-2}) \).

a) \( (a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1} = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{1}{ab} \).

б) \( (a — b)^{-2}(a^{-2} — b^{-2}) = \frac{1}{(a-b)^2} \cdot \left( \frac{1}{a^2} — \frac{1}{b^2} \right) = \frac{1}{(a-b)^2} \cdot \frac{b^2 — a^2}{a^2 b^2} =\)

\(\frac{(a-b)(a+b)}{a^2 b^2 (a-b)^2} =\frac{a+b}{(b-a)a^2 b^2} = \frac{a+b}{a^2 b^3 — a^3 b^2} \).

Задача:

Преобразовать выражения:

1. \( (a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1} \)

2. \( (a — b)^{-2}(a^{-2} — b^{-2}) \)

Решение:

1. \( (a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1} \)

Распишем подробно:

\( a^{-1} = \frac{1}{a}, \, b^{-1} = \frac{1}{b} \), следовательно:

\( (a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1} = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \cdot \frac{1}{a+b} \).

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab} \).

Подставим это в выражение:

\( \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{1}{ab} \).

Ответ: \( \frac{1}{ab} \).

2. \( (a — b)^{-2}(a^{-2} — b^{-2}) \)

Распишем подробно:

\( (a — b)^{-2} = \frac{1}{(a-b)^2}, \, a^{-2} = \frac{1}{a^2}, \, b^{-2} = \frac{1}{b^2} \), следовательно:

\( (a — b)^{-2}(a^{-2} — b^{-2}) = \frac{1}{(a-b)^2} \cdot \left( \frac{1}{a^2} — \frac{1}{b^2} \right) \).

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

\( \frac{1}{a^2} — \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} — \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 — a^2}{a^2b^2} \).

Подставим это в выражение:

\( \frac{1}{(a-b)^2} \cdot \frac{b^2 — a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 — a^2}{(a-b)^2 \cdot a^2b^2} \).

Заметим, что \( b^2 — a^2 = (b-a)(b+a) \), поэтому:

\( \frac{(b-a)(b+a)}{(a-b)^2 \cdot a^2b^2} \).

Упростим выражение, используя \( b-a = -(a-b) \):

\( \frac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)^2 \cdot a^2b^2} = \frac{a+b}{(a-b)a^2b^2} \).

Итоговое выражение:

\( \frac{a+b}{a^2b^3 — a^3b^2} \).

Ответ: \( \frac{a+b}{a^2b^3 — a^3b^2} \).