ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1167 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя рисунок 52 на с. 237, перечислите свойства функций \(y = x^2\), \(y = x^3\), \(y = \sqrt{x}\) и \(y = |x|\).

1) \(y = \sqrt{x}\)
— \(D(y) = [0; +\infty)\)
— \(E(y) = [0; +\infty)\)
— Нули функции: \(x = 0\)
— При \(y > 0\), \(x \in (0; +\infty)\)
— Возрастает: \([0; +\infty)\)
— Наибольшего значения не существует, наименьшее значение \(y = 0\) при \(x = 0\).

2) \(y = x^2\)
— \(D(y) = (-\infty; +\infty)\)
— \(E(y) = [0; +\infty)\)
— Нули функции: \(x = 0\)
— При \(y > 0\), \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\)
— Возрастает: \([0; +\infty)\). Убывает: \((-\infty; 0]\)
— Наибольшего значения не существует, наименьшее значение \(y = 0\) при \(x = 0\).

3) \(y = x^3\)
— \(D(y) = (-\infty; +\infty)\)
— \(E(y) = (-\infty; +\infty)\)
— Нули функции: \(x = 0\)
— При \(y > 0\), \(x \in (0; +\infty)\)
— При \(y < 0\), \(x \in (-\infty; 0)\)
— Возрастает: \((-\infty; +\infty)\)
— Наибольшего значения не существует, наименьшее значение не существует.

4) \(y = |x|\)
— \(D(y) = (-\infty; +\infty)\)
— \(E(y) = [0; +\infty)\)
— Нули функции: \(x = 0\)
— При \(y > 0\), \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\)
— Возрастает: \([0; +\infty)\). Убывает: \((-\infty; 0]\)
— Наибольшего значения не существует, наименьшее значение \(y = 0\) при \(x = 0\).

1) \( y = \sqrt{x} \)

Область определения: \( D(y) = [0; +\infty) \)

Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \)

Нули функции: \( x = 0 \), так как \( \sqrt{x} = 0 \) при \( x = 0 \)

При \( y > 0 \): \( x \in (0; +\infty) \)

Функция возрастает на промежутке: \( [0; +\infty) \), так как \( y = \sqrt{x} \) — функция, которая возрастает на всем своем определенном промежутке.

Наибольшего значения не существует: Функция не ограничена сверху, так как с увеличением \( x \) значение \( y \) также будет расти бесконечно.

Наименьшее значение: \( y = 0 \) при \( x = 0 \), так как \( \sqrt{0} = 0 \).

2) \( y = x^2 \)

Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \), так как квадрат любого числа определен для всех значений \( x \).

Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \), так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \).

Нули функции: \( x = 0 \), так как \( x^2 = 0 \) при \( x = 0 \).

При \( y > 0 \): \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \), так как для любого положительного \( y \) существуют два значения \( x \), одно положительное, а другое отрицательное.

Функция возрастает на промежутке: \( [0; +\infty) \), так как \( x^2 \) — функция, которая возрастает на положительном промежутке.

Функция убывает на промежутке: \( (-\infty; 0] \), так как \( x^2 \) — функция, которая убывает на отрицательном промежутке.

Наибольшего значения не существует: Функция не ограничена сверху, так как значение \( y \) может расти бесконечно с увеличением \( |x| \).

Наименьшее значение: \( y = 0 \) при \( x = 0 \), так как \( 0^2 = 0 \).

3) \( y = x^3 \)

Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \), так как куб любого числа определен для всех значений \( x \).

Область значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \), так как \( x^3 \) может быть любым числом.

Нули функции: \( x = 0 \), так как \( x^3 = 0 \) при \( x = 0 \).

При \( y > 0 \): \( x \in (0; +\infty) \), так как \( x^3 > 0 \) при \( x > 0 \).

При \( y < 0 \): \( x \in (-\infty; 0) \), так как \( x^3 < 0 \) при \( x < 0 \).

Функция возрастает на промежутке: \( (-\infty; +\infty) \), так как кубическая функция монотонно возрастает на всей области определения.

Наибольшего значения не существует: Функция не ограничена сверху, так как с увеличением \( x \) значение \( y = x^3 \) будет расти бесконечно.

Наименьшего значения не существует: Функция не ограничена снизу, так как для \( x < 0 \) значение \( y = x^3 \) будет стремиться к минус бесконечности.

4) \( y = |x| \)

Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \), так как функция абсолютного значения определена для всех \( x \).

Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \), так как абсолютное значение всегда неотрицательно.

Нули функции: \( x = 0 \), так как \( |x| = 0 \) при \( x = 0 \).

При \( y > 0 \): \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \), так как для \( y > 0 \) существует два значения \( x \), одно отрицательное, другое положительное.

Функция возрастает на промежутке: \( [0; +\infty) \), так как функция \( |x| \) возрастает для \( x > 0 \).

Функция убывает на промежутке: \( (-\infty; 0] \), так как функция \( |x| \) убывает для \( x < 0 \).

Наибольшего значения не существует: Функция не ограничена сверху, так как значение \( |x| \) может расти бесконечно с увеличением \( |x| \).

Наименьшее значение: \( y = 0 \) при \( x = 0 \), так как \( |0| = 0 \).