ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1164 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Постройте график функции и перечислите её свойства:
а)
\[
y =
\begin{cases}
x^2, & \text{если } x \leq 1, \\
\sqrt{x}, & \text{если } x > 1;
\end{cases}
\]
б)
\[
y =
\begin{cases}
(x — 1)^2, & \text{если } x \leq 2, \\
-2x + 5, & \text{если } 2 < x \leq 3.
\end{cases}
\]
а) Функция
y =
- x², если x ≤ 1
- √x, если x > 1
Таблица значений
x | -2 | -1 | 0 | 1 |
---|---|---|---|---|
y | 4 | 1 | 0 | 1 |
x | 4 | 9 |
---|---|---|
y | 2 | 3 |
Свойства функции
- Область определения: D(y) = ℝ
- Область значений: E(y) = [0; +∞)
- При y = 0, x = 0
- Функция убывает при x ∈ (-∞; 0]
- Функция возрастает при x ∈ [0; +∞)
б) Функция
y =
- (x — 1)², если x ≤ 2
- -2x + 5, если 2 < x ≤ 3
Таблица значений
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
x | 2.5 | 3 |
---|---|---|
y | 0 | -1 |
Свойства функции
- Область определения: D(y) = (-∞; 3]
- Область значений: E(y) = [-1; +∞)
- При y = 0, x = 1 и x = 2.5
- Функция убывает при x ∈ (-∞; 1] ∪ [2; 3]
- Функция возрастает при x ∈ [1; 2]
а) Функция
y =
- x², если x ≤ 1
- √x, если x > 1
Решение:
Для определения значений функции подставим различные значения \( x \) в заданные формулы:
- Если x = -2, то y = (-2)² = 4. Мы подставили \( x = -2 \) в первую часть функции, так как \( -2 \leq 1 \), следовательно, \( y = x^2 \).
- Если x = -1, то y = (-1)² = 1. Аналогично подставляем \( x = -1 \), получаем \( y = x^2 \), так как \( -1 \leq 1 \).
- Если x = 0, то y = 0² = 0. Для \( x = 0 \), опять используем первую часть функции, так как \( 0 \leq 1 \).
- Если x = 1, то y = 1² = 1. Точно так же для \( x = 1 \), используем первую часть функции, так как \( 1 \leq 1 \).
- Если x = 4, то y = √4 = 2. Теперь \( x = 4 \), что больше 1, следовательно, используем вторую часть функции, которая равна \( \sqrt{x} \), так как \( x > 1 \).
- Если x = 9, то y = √9 = 3. Для \( x = 9 \), также используем вторую часть функции \( \sqrt{x} \), так как \( x > 1 \).
Таблица значений:
x | -2 | -1 | 0 | 1 |
---|---|---|---|---|
y | 4 | 1 | 0 | 1 |
x | 4 | 9 |
---|---|---|
y | 2 | 3 |
Свойства функции:
- Область определения: D(y) = ℝ — Функция определена для всех значений \( x \), так как как для \( x \leq 1 \), так и для \( x > 1 \) выражения \( x^2 \) и \( \sqrt{x} \) существуют для всех \( x \geq 0 \).
- Область значений: E(y) = [0; +∞) — Функция принимает значения, начиная с 0, так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), и \( \sqrt{x} \geq 0 \) для \( x \geq 0 \), соответственно, наибольшее значение \( y \) может быть бесконечно большим.
- При y = 0, x = 0: Когда \( x = 0 \), \( y = 0 \), так как \( 0^2 = 0 \) и \( \sqrt{0} = 0 \).
- Функция убывает при x ∈ (-∞; 0]: Для значений \( x \leq 0 \), функция \( y = x^2 \) убывает, так как значения квадратов отрицательных чисел увеличиваются с уменьшением \( x \).
- Функция возрастает при x ∈ [0; +∞): Для \( x > 0 \), функция \( y = \sqrt{x} \) возрастает, так как квадратный корень из положительного числа увеличивается с увеличением \( x \).
б) Функция
y =
- (x — 1)², если x ≤ 2
- -2x + 5, если 2 < x ≤ 3
Решение:
Для определения значений функции подставим различные значения \( x \) в заданные формулы:
- Если x = -2, то y = (-2 — 1)² = 9 — используем первую часть функции, так как \( -2 \leq 2 \).
- Если x = -1, то y = (-1 — 1)² = 4 — подставляем в первую часть функции.
- Если x = 0, то y = (0 — 1)² = 1 — подставляем в первую часть функции.
- Если x = 1, то y = (1 — 1)² = 0 — подставляем в первую часть функции.
- Если x = 2, то y = (2 — 1)² = 1 — подставляем в первую часть функции.
- Если x = 2.5, то y = -2(2.5) + 5 = 0 — подставляем в вторую часть функции, так как \( 2 < x \leq 3 \).
- Если x = 3, то y = -2(3) + 5 = -1 — подставляем в вторую часть функции.
Таблица значений:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
x | 2.5 | 3 |
---|---|---|
y | 0 | -1 |
Свойства функции:
- Область определения: D(y) = (-∞; 3] — Функция существует для всех \( x \), где \( x \leq 2 \) или \( 2 < x \leq 3 \).
- Область значений: E(y) = [-1; +∞) — Поскольку минимальное значение функции при \( x = 3 \) равно \( -1 \), а максимальное может быть любым положительным числом.
- При y = 0, x = 1 и x = 2.5 — точка пересечения функции с осью \( y \).
- Функция убывает при x ∈ (-∞; 1] ∪ [2; 3] — Функция убывает как для \( x \leq 1 \), так и для \( 2 \leq x \leq 3 \).
- Функция возрастает при x ∈ [1; 2] — Функция возрастает в интервале от 1 до 2.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.