Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1151 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Известно, что \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция \( \phi = f(x) + g(x) \) является возрастающей (убывающей) функцией.
1) Пусть \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) — возрастающие функции.
Тогда при \( x_1 > x_2 \):
\[
f(x_1) > f(x_2), \quad g(x_1) > g(x_2)
\]
\[
f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)
\]
Обозначим \( \phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1) \), а \( \phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2) \).
Значит, \( \phi(x_1) > \phi(x_2) \) при \( x_1 > x_2 \), т.е. является возрастающей функцией.
2) Пусть \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) — убывающие функции.
Тогда при \( x_1 > x_2 \):
\[
f(x_1) < f(x_2), \quad g(x_1) < g(x_2)
\]
\[
f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)
\]
Обозначим \( \phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1) \), а \( \phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2) \).
Значит, \( \phi(x_1) < \phi(x_2) \) при \( x_1 > x_2 \), т.е. является убывающей функцией.
1. Пусть \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) — возрастающие функции
По определению возрастающей функции:
Если \(x_1 > x_2\), то \(f(x_1) > f(x_2)\) и \(g(x_1) > g(x_2)\).
Сложим эти неравенства:
\(f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)\).
Обозначим:
\(\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)\), \(\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)\).
Тогда:
\(\phi(x_1) > \phi(x_2)\) при \(x_1 > x_2\).
Следовательно, функция \(\phi(x) = f(x) + g(x)\) является возрастающей.
2. Пусть \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) — убывающие функции
По определению убывающей функции:
Если \(x_1 > x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\) и \(g(x_1) < g(x_2)\).
Сложим эти неравенства:
\(f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)\).
Обозначим:
\(\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)\), \(\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)\).
Тогда:
\(\phi(x_1) < \phi(x_2)\) при \(x_1 > x_2\).
Следовательно, функция \(\phi(x) = f(x) + g(x)\) является убывающей.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.