ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1151 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Известно, что \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция \( \phi = f(x) + g(x) \) является возрастающей (убывающей) функцией.

Краткий ответ:

1) Пусть \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) — возрастающие функции.
Тогда при \( x_1 > x_2 \):
\[
f(x_1) > f(x_2), \quad g(x_1) > g(x_2)
\]
\[
f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)
\]
Обозначим \( \phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1) \), а \( \phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2) \).
Значит, \( \phi(x_1) > \phi(x_2) \) при \( x_1 > x_2 \), т.е. является возрастающей функцией.

2) Пусть \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) — убывающие функции.
Тогда при \( x_1 > x_2 \):
\[
f(x_1) < f(x_2), \quad g(x_1) < g(x_2)
\]
\[
f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)
\]
Обозначим \( \phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1) \), а \( \phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2) \).
Значит, \( \phi(x_1) < \phi(x_2) \) при \( x_1 > x_2 \), т.е. является убывающей функцией.

Подробный ответ:

1. Пусть \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) — возрастающие функции

По определению возрастающей функции:

Если \(x_1 > x_2\), то \(f(x_1) > f(x_2)\) и \(g(x_1) > g(x_2)\).

Сложим эти неравенства:

\(f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)\).

Обозначим:

\(\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)\), \(\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)\).

Тогда:

\(\phi(x_1) > \phi(x_2)\) при \(x_1 > x_2\).

Следовательно, функция \(\phi(x) = f(x) + g(x)\) является возрастающей.

2. Пусть \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) — убывающие функции

По определению убывающей функции:

Если \(x_1 > x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\) и \(g(x_1) < g(x_2)\).

Сложим эти неравенства:

\(f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)\).

Обозначим:

\(\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)\), \(\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)\).

Тогда:

\(\phi(x_1) < \phi(x_2)\) при \(x_1 > x_2\).

Следовательно, функция \(\phi(x) = f(x) + g(x)\) является убывающей.

Оцени решение