ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1131 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции и перечислите её свойства:
a) y = 3 / x;
б) y = — 4 / x.

а) $y = \frac{3}{x}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline | x | -3 & -1 & 1 & 3 \\ \hline | y | -1 & -3 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

$E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Нуль не существует.

$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

$k = 3 > 0$, значит функция убывающая.

б) $y = \frac{-4}{x}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline | x | -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 \\ \hline | y | 1 & 2 & 4 & -4 & -2 & -1 \\ \hline \end{array}$$

$D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

$E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Нуль не существует.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

$y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

$k = -4 < 0$, значит функция возрастающая.

Часть а)

Задана функция:

$$y = \frac{3}{x}$$

1. Область определения $D(y)$

Областью определения функции называется множество всех значений переменной $x$, при которых функция имеет смысл.

Для функции $y = \frac{3}{x}$ знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

$$x \neq 0$$

Таким образом, областью определения будет:

$$D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

2. Множество значений $E(y)$

Множество значений (или область значений) — это все возможные значения $y$, которые функция может принимать при любых значениях $x$ из области определения. Для функции вида $y = \frac{3}{x}$ значение $y$ может быть любым, кроме нуля, так как при $x = 0$ функция не существует. Таким образом:

$$E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

3. Нули функции

Нулем функции называется такое значение $x$, при котором $y = 0$.

Рассмотрим уравнение:

$$\frac{3}{x} = 0$$

Такого значения не существует, так как дробь не может быть равна нулю, если числитель отличен от нуля. Следовательно, у функции нет нулей.

4. Поведение функции на интервалах

Теперь исследуем поведение функции на разных интервалах.

• На интервале $(0; +\infty)$:
  Для $x > 0$ знаменатель положительный, следовательно, и $y = \frac{3}{x}$ будет положительным. Таким образом, функция положительна на интервале $(0; +\infty)$, и её значения будут стремиться к нулю, но не достигнут его.
• На интервале $(-∞; 0)$:
  Для $x < 0$ знаменатель отрицателен, следовательно, и $y = \frac{3}{x}$ будет отрицательным. Таким образом, функция отрицательна на интервале $(-∞; 0)$, и её значения также будут стремиться к нулю, но не достигнут его.

5. Возрастание и убывание функции

Для того чтобы определить, возрастает ли функция, или убывает, нужно исследовать её производную. Находим первую производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{x} \right) = -\frac{3}{x^2}$$

Производная отрицательна на всём множестве определения функции, так как для всех $x \neq 0$ $x^2 > 0$. Таким образом, функция убывает на обоих интервалах $(-∞; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Вывод

Функция $y = \frac{3}{x}$ убывает на всей области определения.

Часть б)

Задана функция:

$$y = \frac{-4}{x}$$

1. Область определения $D(y)$

Как и в предыдущем случае, для функции $y = \frac{-4}{x}$ знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, областью определения будет:

$$D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

2. Множество значений $E(y)$

Аналогично предыдущему примеру, множества значений функции будет:

$$E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Функция принимает любые значения, кроме нуля.

3. Нули функции

Рассмотрим уравнение:

$$\frac{-4}{x} = 0$$

Такого значения не существует, так как дробь не может быть равна нулю, если числитель отличен от нуля. Следовательно, у функции нет нулей.

4. Поведение функции на интервалах

Теперь исследуем поведение функции на разных интервалах.

• На интервале $(0; +\infty)$:
  Для $x > 0$ знаменатель положительный, следовательно, и $y = \frac{-4}{x}$ будет отрицательным. Функция будет стремиться к нулю, но не достигнет его, так как $y \to 0$ при $x \to +\infty$.
• На интервале $(-∞; 0)$:
  Для $x < 0$ знаменатель отрицателен, следовательно, и $y = \frac{-4}{x}$ будет положительным. Функция будет стремиться к нулю при $x \to -\infty$, но не достигнет его.

5. Возрастание и убывание функции

Для того чтобы определить, возрастает ли функция или убывает, нужно исследовать её производную. Находим первую производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-4}{x} \right) = \frac{4}{x^2}$$

Производная положительна на всём множестве определения функции, так как для всех $x \neq 0$ $x^2 > 0$. Таким образом, функция возрастает на интервале $(-∞; 0)$ и убывает на интервале $(0; +\infty)$.

6. Вывод

Функция $y = \frac{-4}{x}$ возрастает на интервале $(-∞; 0)$ и убывает на интервале $(0; +\infty)$.