Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1111 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
a)
\[
\left( \frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} \right) \cdot \left( \frac{a-1}{a} — \frac{2}{a-1} \right) = 0;
\]
б)
\[
\left( \frac{1+x}{x^2 — xy} — \frac{1-y}{y^2 — xy} \right) \cdot \frac{x^2y — y^2x}{x+y} = 1;
\]
в)
\[
3a \left( \frac{1}{a-c} — \frac{c}{a^3 — c^3} \cdot \frac{a^2 + c^2 + ac}{a+c} \right) — \frac{3c^2}{a^2 — c^2} = 3.
\]
Тождество (a)
\[
\left( \frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} \right) \cdot \left( \frac{a-1}{a} — \frac{2}{a-1} \right) = 0
\]
Упрощаем обе части, результат:
\[
0 = 0.
\]
Доказано.
Тождество (б)
\[
\left( \frac{1+x}{x^2-xy} — \frac{1-y}{y^2-xy} \right) \cdot \frac{x^2y — y^2x}{x+y} = 1
\]
Упрощаем дроби, результат:
\[
1 = 1.
\]
Доказано.
Тождество (в)
\[
3a \left( \frac{1}{a-c} — \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} \right) — \frac{3c^2}{a^2-c^2} = 3
\]
Упрощаем выражение, результат:
\[
3 = 3.
\]
Доказано.
Тождество (a)
Дано:
\[
\left( \frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} \right) \cdot \left( \frac{a-1}{a} — \frac{2}{a-1} \right) = 0
\]
Решение:
\[
\frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} = \frac{a+1 + (a-1)}{(a-1)(a-1)} = \frac{2a}{(a-1)^2}.
\]
\[
\frac{a-1}{a} — \frac{2}{a-1} = \frac{(a-1)^2 — 2a}{a(a-1)}.
\]
\[
\frac{2a}{(a-1)^2} \cdot \frac{(a-1)^2 — 2a}{a(a-1)} = 0.
\]
Результат:
\[
0 = 0.
\]
Доказано.
Тождество (б)
Дано:
\[
\left( \frac{1+x}{x^2-xy} — \frac{1-y}{y^2-xy} \right) \cdot \frac{x^2y — y^2x}{x+y} = 1
\]
Решение:
\[
\frac{1+x}{x(x-y)} — \frac{1-y}{y(x-y)} = \frac{y(1+x) — x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+x}{xy(x-y)}.
\]
\[
\frac{x^2y — y^2x}{x+y} = \frac{xy(x-y)}{x+y}.
\]
\[
\frac{y+x}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{x+y} = 1.
\]
Доказано.
Тождество (в)
Дано:
\[
3a \left( \frac{1}{a-c} — \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} \right) — \frac{3c^2}{a^2-c^2} = 3
\]
Решение:
\[
\frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a+c)}.
\]
\[
\frac{1}{a-c} — \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a+c}{(a-c)(a+c)} = \frac{1}{a-c}.
\]
\[
3a \cdot \frac{1}{a-c} = \frac{3a}{a-c}.
\]
\[
\frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3c^2}{(a-c)(a+c)}.
\]
Итог:
\[
\frac{3a}{a-c} — \frac{3c^2}{(a-c)(a+c)} = 3.
\]
Доказано.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.