Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 11 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) \(x^2 — 8x + 9\);
б) \(\frac{1}{6x — 3}\);
в) \(\frac{3x — 6}{7}\);
г) \(\frac{x^2 — 8}{4x(x + 1)}\);
д) \(\frac{x — 5}{x^2 + 25} — 3x\);
е) \(\frac{x}{x + 8} + \frac{x — 8}{x}\).
а) Любые значения переменной.
б) Любые значения переменной, кроме 0,5
\[
6x — 3 \neq 0 \\
6x \neq 3 \\
x \neq \frac{3}{6} \\
x \neq 0,5
\]
в) Любые значения переменной.
г) Любые значения переменной, кроме 0 и -1
\[
\begin{cases}
4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \\
x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1
\end{cases}
\]
д) Любые значения переменной, т.к. в знаменателе стоит число в квадрате.
е) Любые значения переменной, кроме -8 и 0.
\[
\begin{cases}
x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8 \\
x \neq 0
\end{cases}
\]
а) \(x^2 — 8x + 9\)
Это многочлен, он определён для всех значений переменной x.
Допустимые значения: все действительные числа.
б) \(\frac{1}{6x — 3}\)
Знаменатель не должен быть равен нулю:
- 6x — 3 ≠ 0
- 6x ≠ 3
- x ≠ \(\frac{3}{6} = 0.5\)
Допустимые значения: все действительные числа, кроме 0.5.
в) \(\frac{3x — 6}{7}\)
Знаменатель равен 7 — это константа, не равная нулю.
Выражение определено для всех значений x.
Допустимые значения: все действительные числа.
г) \(\frac{x^2 — 8}{4x(x + 1)}\)
Знаменатель не должен быть равен нулю:
- 4x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0
- x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1
Допустимые значения: все действительные числа, кроме 0 и -1.
д) \(\frac{x — 5}{x^2 + 25} — 3x\)
Знаменатель \(x^2 + 25\) всегда положителен (квадрат числа плюс 25 > 0).
Знаменатель не может быть равен нулю, но здесь это невозможно.
Допустимые значения: все действительные числа.
е) \(\frac{x}{x + 8} + \frac{x — 8}{x}\)
Знаменатели не должны быть равны нулю:
- x + 8 ≠ 0 ⇒ x ≠ -8
- x ≠ 0
Допустимые значения: все действительные числа, кроме -8 и 0.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.