ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1083 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Найдите область определения и множество значений функции, заданной формулой
\[ y = \frac{x^2}{x^2 + 1} \]

Краткий ответ:

\[ y = \frac{x^2}{x^2 + 1} \]

\[ x^2 + 1 \neq 0 \]

\[ x^2 \neq -1 \] — нет корней

\[ D(y): (-\infty; +\infty) \]

\[ \frac{x^2}{x^2 + 1} > 0 \]

\[ \frac{x^2 + 1 — 1}{x^2 + 1} > 0 \]

\[ 1 — \frac{1}{x^2 + 1} > 0 \], т.е. \[ E(y): [0, 1) \]

Подробный ответ:

Функция:

y = x² / (x² + 1)

Шаг 1: Найдём область определения функции

Функция определена, если знаменатель не равен нулю:

x² + 1 ≠ 0

Так как сумма квадрата числа и единицы всегда больше нуля, ограничений на область определения нет.

Ответ: D(y) = (-∞; +∞)

Шаг 2: Найдём множество значений функции

Рассмотрим значение функции:

y = x² / (x² + 1)

Заметим, что числитель (x²) и знаменатель (x² + 1) всегда положительны, так как x² ≥ 0 и x² + 1 > 0.
Следовательно, функция принимает только положительные значения.

Перепишем функцию:

y = 1 — (1 / (x² + 1))

Здесь видно, что:

1 / (x² + 1) > 0, так как знаменатель положителен.
1 — (1 / (x² + 1)) < 1.

Таким образом, функция принимает значения от 0 до 1, причём 0 включается, а 1 не включается.

Ответ: E(y) = [0; 1)

Итоговый ответ

Область определения: D(y) = (-∞; +∞)

Множество значений: E(y) = [0; 1)

Оцени решение