ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1054 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите целые решения системы неравенств:

a)
1. \( 6x(x — 1) — 3x(2x — 1) < x \)
2. \( 0.5x — 3.7 < 0.2x — 0.7 \)

б)
1. \( 0.7x — 3(0.2x + 1) \leq 0.5x + 1 \)
2. \( 0.3(1 — x) + 0.8x \geq x + 5.3 \)

в)
1. \( \frac{1}{3}(3x — 2) + \frac{1}{6}(12x + 1) > 0 \)
2. \( \frac{1}{7}(14x — 21) + \frac{2}{9}(9x — 6) < 0 \)

г)
1. \( 0.2(5x — 1) + \frac{1}{3}(3x + 1) < x + 5.8 \)
2. \( 8x — 7 — \frac{1}{6}(6x — 2) > x \)

д)
1. \( \frac{z — 1}{2} — \frac{z — 4}{3} > 2z — 1 \)
2. \( 2z — \frac{z — 5}{3} > 0 \)

е)
1. \( 3y — \frac{1 + 5y}{4} < y \)
2. \( \frac{4 — y}{5} — y — 1 < 0 \)

a)
1. \( 6x(x — 1) — 3x(2x — 1) < x \)
2. \( 0.5x — 3.7 < 0.2x — 0.7 \)

Решение:
\( 6x^2 — 6x — 6x^2 + 3x — x < 0 \): \( -4x < 0 \), \( x > 0 \)
\( 0.5x — 0.2x < -0.7 + 3.7 \): \( 0.3x < 3 \), \( x < 10 \)

Ответ: \( x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)

б)
1. \( 0.7x — 3(0.2x + 1) \leq 0.5x + 1 \)
2. \( 0.3(1 — x) + 0.8x \geq x + 5.3 \)

Решение:
\( 0.7x — 0.6x — 3 — 0.5x \leq 1 \): \( -0.4x \leq 4 \), \( x \geq -10 \)
\( 0.3 — 0.3x + 0.8x — x \geq 5.3 \): \( -0.5x \geq 5 \), \( x \leq -10 \)

Ответ: \( x = -10 \)

в)
1. \( \frac{1}{3}(3x — 2) + \frac{1}{6}(12x + 1) > 0 \)
2. \( \frac{1}{7}(14x — 21) + \frac{2}{9}(9x — 6) < 0 \)

Решение:
\( 2(3x — 2) + 12x + 1 > 0 \): \( 18x > 3 \), \( x > \frac{1}{6} \)
\( 2x — 3 + 2x — \frac{4}{3} < 0 \): \( x < \frac{13}{12} \)

Ответ: \( x = 1 \)

г)
1. \( 0.2(5x — 1) + \frac{1}{3}(3x + 1) < x + 5.8 \)
2. \( 8x — 7 — \frac{1}{6}(6x — 2) > x \)

Решение:
\( x — 0.2x + \frac{1}{3}x — x < 5.8 \): \( x < 5.8 + 0.2 — \frac{1}{3} \)
\( 8x — 7 — x + \frac{1}{3}x > 0 \): \( 6x > 7 — \frac{1}{3} \)

Ответ: \( x \in \{2, 3, 4, 5\} \)

д)
1. \( \frac{z — 1}{2} — \frac{z — 4}{3} > 2z — 1 \)
2. \( 2z — \frac{z — 5}{3} > 0 \)

Решение:
\( 3(z — 1) — 2(z — 4) > 6(2z — 1) \): \( -11z > -11 \), \( z > -1 \)
\( 6z — (z — 5) > 0 \): \( z < 1 \)

Ответ: \( z = 0 \)

е)
1. \( 3y — \frac{1 + 5y}{4} < y \)
2. \( \frac{4 — y}{5} — y — 1 < 0 \)

Решение:
\( 12y — 1 — 5y — 4y < 0 \): \( 3y < 1 \), \( y < \frac{1}{3} \)
\( -6y < 1 \): \( y > -\frac{1}{6} \)

Ответ: \( z = 0 \)

е)
1. \( 3y — \frac{1 + 5y}{4} < y \)
2. \( \frac{4 — y}{5} — y — 1 < 0 \)

Решение:
\( 12y — 1 — 5y — 4y < 0 \): \( 3y < 1 \), \( y < \frac{1}{3} \)
\( -6y < 1 \): \( y > -\frac{1}{6} \)

Задача: Найдите целые решения системы неравенств:

a)

1. \( 6x(x — 1) — 3x(2x — 1) < x \)

2. \( 0.5x — 3.7 < 0.2x — 0.7 \)

Решение:

Шаг 1: Решаем первое неравенство \( 6x(x — 1) — 3x(2x — 1) < x \):

\( 6x(x — 1) — 3x(2x — 1) = 6x^2 — 6x — 6x^2 + 3x = -4x
\)

Неравенство: \( -4x < x \)

Переносим все на одну сторону:

\( -4x — x < 0 \quad \Rightarrow \quad -5x < 0
\)

Делим на -5 (не меняем знак неравенства):

\( x > 0 \)

Шаг 2: Решаем второе неравенство \( 0.5x — 3.7 < 0.2x — 0.7 \):

\( 0.5x — 0.2x < -0.7 + 3.7
\)

\( 0.3x < 3
\)

Делим на 0.3:

\( x < 10 \)

Ответ: \( x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)

b)

1. \( 0.7x — 3(0.2x + 1) \leq 0.5x + 1 \)

2. \( 0.3(1 — x) + 0.8x \geq x + 5.3 \)

Решение:

Шаг 1: Решаем первое неравенство \( 0.7x — 3(0.2x + 1) \leq 0.5x + 1 \):

\( 0.7x — 0.6x — 3 — 0.5x \leq 1
\)

\( -0.4x — 3 \leq 1
\)

Прибавляем 3 к обеим частям:

\( -0.4x \leq 4
\)

Делим на -0.4 (меняем знак неравенства):

\( x \geq -10 \)

Шаг 2: Решаем второе неравенство \( 0.3(1 — x) + 0.8x \geq x + 5.3 \):

\( 0.3 — 0.3x + 0.8x — x \geq 5.3
\)

\( -0.5x \geq 5
\)

Делим на -0.5 (меняем знак неравенства):

\( x \leq -10 \)

Ответ: \( x = -10 \)

в)

1. \( \frac{1}{3}(3x — 2) + \frac{1}{6}(12x + 1) > 0 \)

2. \( \frac{1}{7}(14x — 21) + \frac{2}{9}(9x — 6) < 0 \)

Решение:

Шаг 1: Решаем первое неравенство \( \frac{1}{3}(3x — 2) + \frac{1}{6}(12x + 1) > 0 \):

\( \frac{1}{3}(3x — 2) = x — \frac{2}{3}
\)

\( \frac{1}{6}(12x + 1) = 2x + \frac{1}{6}
\)

Теперь объединяем:

\( x — \frac{2}{3} + 2x + \frac{1}{6} > 0
\)

Приводим к общему знаменателю:

\( 3x — \frac{4}{6} + \frac{1}{6} > 0
\)

\( 3x — \frac{3}{6} > 0
\)

\( 3x > \frac{1}{2}
\)

Таким образом, \( x > \frac{1}{6} \)

Шаг 2: Решаем второе неравенство \( \frac{1}{7}(14x — 21) + \frac{2}{9}(9x — 6) < 0 \):

\( \frac{1}{7}(14x — 21) = 2x — 3
\)

\( \frac{2}{9}(9x — 6) = 2x — \frac{4}{3}
\)

Теперь объединяем:

\( 2x — 3 + 2x — \frac{4}{3} < 0
\)

Приводим к общему знаменателю:

\( 4x — \frac{13}{3} < 0
\)

\( 4x < \frac{13}{3}
\)

\( x < \frac{13}{12}
\)

Ответ: \( x = 1 \)

г)

1. \( 0.2(5x — 1) + \frac{1}{3}(3x + 1) < x + 5.8 \)

2. \( 8x — 7 — \frac{1}{6}(6x — 2) > x \)

Решение:

Шаг 1: Решаем первое неравенство \( 0.2(5x — 1) + \frac{1}{3}(3x + 1) < x + 5.8 \):

\( 0.2(5x — 1) = x — 0.2
\)

\( \frac{1}{3}(3x + 1) = x + \frac{1}{3}
\)

Теперь объединяем:

\( x — 0.2 + x + \frac{1}{3} < x + 5.8
\)

Упрощаем:

\( 2x + \frac{1}{3} — 0.2 < x + 5.8
\)

Переносим все на одну сторону:

\( x < 5.8 + 0.2 — \frac{1}{3}
\)

\( x < 5.8 + 0.2 — 0.3333
\)

\( x < 5.6667
\)

Шаг 2: Решаем второе неравенство \( 8x — 7 — \frac{1}{6}(6x — 2) > x \):

\( \frac{1}{6}(6x — 2) = x — \frac{1}{3}
\)

Теперь объединяем:

\( 8x — 7 — x + \frac{1}{3} > 0
\)

Упрощаем:

\( 7x — 6.6667 > 0
\)

\( 7x > 6.6667
\)

\( x > 0.9524
\)

Таким образом, \( x \in \{2, 3, 4, 5\}\)

Задача: Найдите целые решения системы неравенств:

д)

Уравнение: \( \frac{z-1}{2} — \frac{z-4}{3} > 2z — 1 \)

Решение:

Шаг 1: Решаем первое неравенство \( \frac{z-1}{2} — \frac{z-4}{3} > 2z — 1 \):

Умножаем обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

\( 3(z-1) — 2(z-4) > 6(2z-1) \)

Раскрываем скобки:

\( 3z — 3 — 2z + 8 > 12z — 6 \)

Упрощаем:

\( z + 5 > 12z — 6 \)

Переносим все на одну сторону:

\( z + 5 — 12z + 6 > 0 \)

\( -11z + 11 > 0 \)

\( -11z > -11 \)

Делим на -11 (меняем знак неравенства):

\( z < 1 \)

Шаг 2: Решаем второе неравенство \( 2z — \frac{z-5}{3} > 0 \):

Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\( 6z — (z — 5) > 0 \)

Раскрываем скобки:

\( 6z — z + 5 > 0 \)

\( 5z + 5 > 0 \)

\( 5z > -5 \)

\( z > -1 \)

Шаг 3: Объединяем результаты:

Из первого неравенства: \( z < 1 \)

Из второго неравенства: \( z > -1 \)

Таким образом, решение: \( z \in (-1, 1) \)

Ответ: \( z = 0 \)

e)

Уравнение: \( 3y — \frac{1+5y}{4} < y \)

Решение:

Шаг 1: Решаем первое неравенство \( 3y — \frac{1+5y}{4} < y \):

Умножаем обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\( 12y — (1 + 5y) < 4y \)

Раскрываем скобки:

\( 12y — 1 — 5y < 4y \)

Упрощаем:

\( 7y — 1 < 4y \)

Переносим все на одну сторону:

\( 7y — 4y < 1 \)

\( 3y < 1 \)

\( y < \frac{1}{3} \)

Шаг 2: Решаем второе неравенство \( \frac{4 — y}{5} — y — 1 < 0 \):

Умножаем обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

\( 4 — y — 5y — 5 < 0 \)

Упрощаем:

\( -6y — 1 < 0 \)

Переносим все на одну сторону:

\( -6y < 1 \)

\( y > -\frac{1}{6} \)

Шаг 3: Объединяем результаты:

Из первого неравенства: \( y < \frac{1}{3} \)

Из второго неравенства: \( y > -\frac{1}{6} \)

Таким образом, решение: \( y \in \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right) \)

Ответ: \( y = 0 \)