ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 104 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество
\[\frac{1}{x+n} — \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}\]
Используя это тождество, упростите выражение
\[\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}\]
\[\frac{1}{x+n} — \frac{1}{x+n+1} = \frac{x+n+1}{(x+n)(x+n+1)} -\]
\[-\frac{x+n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)} =\]
\[\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}\]
\[\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+1} -\]
\[-\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} — \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} — \frac{1}{x+4} =\]
\[\frac{1}{x+1} — \frac{1}{x+4}\]
\[= \frac{x+4-x+1}{(x+1)(x+4)} = \frac{3}{(x+1)(x+4)}\]
Доказательство тождества
Доказать, что:
\frac{1}{x+n} — \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}
\]
Начнем с левой части:
\frac{1}{x+n} — \frac{1}{x+n+1} = \frac{x+n+1}{(x+n)(x+n+1)} — \frac{x+n}{(x+n)(x+n+1)}
\]
Объединяем дроби:
= \frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)}
\]
Упрощаем числитель:
= \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}
\]
Упрощение выражения
Упростим следующее выражение:
\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}
\]
Используем доказанное тождество:
= \left(\frac{1}{x+1} — \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} — \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x+3} — \frac{1}{x+4}\right)
\]
Слагаемые сокращаются:
= \frac{1}{x+1} — \frac{1}{x+4}
\]
Объединяем дроби:
= \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)}
\]
Упрощаем числитель:
= \frac{3}{(x+1)(x+4)}
\]
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.