Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1027 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если \(a\) — наибольшее число в пропорции
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\]
где \(a, b, c, d\) — положительные числа, то верно неравенство
\[a + d > b + c.\]
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad a + d > b + c
\]
Пусть \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = x\), значит \(a = bx\), \(c = dx\).
\[a + d > b + c\]
\[a + d — b — c > 0\]
\[bx + d — b — dx > 0\]
\[b(x — 1) — d(x — 1) > 0\]
\[(x — 1)(b — d) > 0\]
Т.к. \(a\) — наибольшее число (по условию), значит \(\frac{a}{b} > 1\), \(x > 1\), \(x — 1 > 0\).
Т.к. \(a\) — наибольшее число, то \(d\) — наименьшее число. Поэтому \((b — d) > 0\).
Значит \(a + d > b + c\).
Дано, что:
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]
Необходимо доказать, что:
\(a + d > b + c\)
Шаги решения:
Пусть \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = x\), тогда \(a = bx\) и \(c = dx\).
Подставим в неравенство: \(a + d > b + c\).
Перепишем как: \(a + d — b — c > 0\).
Подставим выражения для \(a\) и \(c\):
\(bx + d — b — dx > 0\)
Вынесем общие множители:
\(b(x — 1) — d(x — 1) > 0\)
Это преобразуется в:
\( (x — 1)(b — d) > 0\)
Анализ:
Так как \(a\) — наибольшее число, то \(\frac{a}{b} > 1\), следовательно, \(x > 1\) и \(x — 1 > 0\).
Поскольку \(a\) — наибольшее число, то \(d\) — наименьшее число. Следовательно, \((b — d) > 0\).
Вывод:
Так как \((x — 1)(b — d) > 0\), то \(a + d > b + c\) верно.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.