ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1027 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если \(a\) — наибольшее число в пропорции
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\]
где \(a, b, c, d\) — положительные числа, то верно неравенство
\[a + d > b + c.\]

\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad a + d > b + c
\]
Пусть \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = x\), значит \(a = bx\), \(c = dx\).

\[a + d > b + c\]
\[a + d — b — c > 0\]
\[bx + d — b — dx > 0\]
\[b(x — 1) — d(x — 1) > 0\]
\[(x — 1)(b — d) > 0\]

Т.к. \(a\) — наибольшее число (по условию), значит \(\frac{a}{b} > 1\), \(x > 1\), \(x — 1 > 0\).

Т.к. \(a\) — наибольшее число, то \(d\) — наименьшее число. Поэтому \((b — d) > 0\).
Значит \(a + d > b + c\).

Дано, что:

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]

Необходимо доказать, что:

\(a + d > b + c\)

Шаги решения:

Пусть \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = x\), тогда \(a = bx\) и \(c = dx\).

Подставим в неравенство: \(a + d > b + c\).

Перепишем как: \(a + d — b — c > 0\).

Подставим выражения для \(a\) и \(c\):

\(bx + d — b — dx > 0\)

Вынесем общие множители:

\(b(x — 1) — d(x — 1) > 0\)

Это преобразуется в:

\( (x — 1)(b — d) > 0\)

Анализ:

Так как \(a\) — наибольшее число, то \(\frac{a}{b} > 1\), следовательно, \(x > 1\) и \(x — 1 > 0\).

Поскольку \(a\) — наибольшее число, то \(d\) — наименьшее число. Следовательно, \((b — d) > 0\).

Вывод:

Так как \((x — 1)(b — d) > 0\), то \(a + d > b + c\) верно.