ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1025 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что при \(a > 0\) и \(b > 0\) верно неравенство:
a) \((a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\);
б) \(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\).

Краткий ответ:

Часть (a):
\[
(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4
\]
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab}
\]
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}
\]
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab} \quad \text{и} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}
\]
\[
(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}}
\]
\[
(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4
\]

Часть (б):
\[
\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}
\]
\[
\frac{a^3 + b^3}{a^2b^2} — \frac{ab(b + a)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{a^3 + b^3 — ab(b + a)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(b + a)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{(a + b)(a — b)^2}{a^2b^2} \geq 0
\]

Подробный ответ:

Часть (a): Доказать, что \((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\)

Рассмотрим выражение \((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\):

\((a + b) = a + b \geq 2\sqrt{ab}\) (по неравенству средней арифметической и геометрической).

Для второго множителя:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\).

Перемножим обе оценки:

\((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{\frac{1}{ab}} = 4.\)

Неравенство доказано.

Часть (б): Доказать, что \(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)

Начнем с преобразования левой части:

\(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} = \frac{a^3 + b^3}{a^2b^2}.\)

Вычтем правую часть:

\(\frac{a^3 + b^3}{a^2b^2} — \frac{ab(b + a)}{a^2b^2} = \frac{a^3 + b^3 — ab(b + a)}{a^2b^2}.\)

В числителе раскроем скобки:

\((a^3 + b^3 — ab(b + a)) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b).\)

Сгруппируем похожие члены:

\((a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2).\)

Представим выражение как полный квадрат:

\((a + b)(a — b)^2.\)

Итак, итоговое выражение:

\(\frac{(a + b)(a — b)^2}{a^2b^2} \geq 0.\)

Так как \((a + b) > 0\) и \((a — b)^2 \geq 0\), неравенство выполняется.

Неравенство доказано.

Оцени решение