Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1025 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при \(a > 0\) и \(b > 0\) верно неравенство:
a) \((a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\);
б) \(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\).
Часть (a):
\[
(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4
\]
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab}
\]
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}
\]
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab} \quad \text{и} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}
\]
\[
(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}}
\]
\[
(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4
\]
Часть (б):
\[
\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}
\]
\[
\frac{a^3 + b^3}{a^2b^2} — \frac{ab(b + a)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{a^3 + b^3 — ab(b + a)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(b + a)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab)}{a^2b^2} \geq 0
\]
\[
\frac{(a + b)(a — b)^2}{a^2b^2} \geq 0
\]
Часть (a): Доказать, что \((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\)
Рассмотрим выражение \((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\):
\((a + b) = a + b \geq 2\sqrt{ab}\) (по неравенству средней арифметической и геометрической).
Для второго множителя:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\).
Перемножим обе оценки:
\((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{\frac{1}{ab}} = 4.\)
Неравенство доказано.
Часть (б): Доказать, что \(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)
Начнем с преобразования левой части:
\(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} = \frac{a^3 + b^3}{a^2b^2}.\)
Вычтем правую часть:
\(\frac{a^3 + b^3}{a^2b^2} — \frac{ab(b + a)}{a^2b^2} = \frac{a^3 + b^3 — ab(b + a)}{a^2b^2}.\)
В числителе раскроем скобки:
\((a^3 + b^3 — ab(b + a)) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b).\)
Сгруппируем похожие члены:
\((a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2).\)
Представим выражение как полный квадрат:
\((a + b)(a — b)^2.\)
Итак, итоговое выражение:
\(\frac{(a + b)(a — b)^2}{a^2b^2} \geq 0.\)
Так как \((a + b) > 0\) и \((a — b)^2 \geq 0\), неравенство выполняется.
Неравенство доказано.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.