ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1023 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.

Краткий ответ:

Пусть \(x, y\) — стороны прямоугольника, тогда \(c\) — сторона квадрата. По условию задачи, \(4c = 2(x + y)\),
\(c = \frac{x + y}{2}\).

Площадь прямоугольника — \(xy\).

Площадь квадрата — \(c^2 = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2\).

Сравнить \(xy\) и \(\left(\frac{x + y}{2}\right)^2\):

\[
\sqrt{xy} \, ? \, \frac{x + y}{2}
\]

\[
\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2}
\]

Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника.

Подробный ответ:

Условие: Пусть x и y — стороны прямоугольника, а c — сторона квадрата. По условию задачи, периметр квадрата равен сумме удвоенных сторон прямоугольника:

4c = 2(x + y)

Отсюда найдем сторону квадрата:

c = (x + y) / 2

Площадь прямоугольника равна:

S_{прямоугольника} = x * y

Площадь квадрата равна:

S_{квадрата} = c² = [(x + y) / 2]²

Сравнение площадей

Сравним площади прямоугольника и квадрата. Для этого проверим неравенство:

√(x * y) ≤ (x + y) / 2

Возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе стороны неотрицательны):

x * y ≤ [(x + y) / 2]²

Раскроем скобки и упростим правую часть:

x * y ≤ (x² + 2xy + y²) / 4

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

4xy ≤ x² + 2xy + y²

Перенесем все влево:

4xy — x² — 2xy — y² ≤ 0

Сгруппируем и упростим:

-x² + 2xy — y² ≤ 0

Или:

(x — y)² ≥ 0

Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, неравенство выполняется.

Ответ: площадь квадрата всегда больше или равна площади прямоугольника.

Оцени решение