ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1022 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что полупериметр треугольника больше длины
каж дой из его сторон.
Пусть \( a \), \( b \), \( c \) — стороны треугольника, тогда по неравенству треугольника \( a < c + b \), \( c < a + b \), \( b < a + c \).
1) \( a < c + b \)
\[
a + a < c + b + a
\]
\[
2a < c + b + a
\]
\[
a < \frac{a + c + b}{2}
\]
2) \( c < a + b \)
\[
c + c < a + b + c
\]
\[
2c < a + b + c
\]
\[
c < \frac{a + b + c}{2}
\]
3) \( b < a + c \)
\[
b + b < a + c + b
\]
\[
2b < a + c + b
\]
\[
b < \frac{a + c + b}{2}.
\]
Доказано.
Задача: Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
Решение:
Пусть \( a \), \( b \), \( c \) — это стороны треугольника. Нам нужно доказать, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
Полупериметр треугольника — это половина периметра. Периметр треугольника равен \( P = a + b + c \), соответственно, полупериметр будет равен:
\( p = \frac{a + b + c}{2} \)
Неравенства треугольника говорят о том, что сумма двух сторон любого треугольника больше третьей стороны:
- \( a < b + c \)
- \( b < a + c \)
- \( c < a + b \)
Нам нужно показать, что для каждой из сторон выполняется неравенство:
\( a < \frac{a + b + c}{2} \)
\( b < \frac{a + b + c}{2} \)
\( c < \frac{a + b + c}{2} \)
Шаг 1: Докажем, что \( a < \frac{a + b + c}{2} \):
Из неравенства треугольника \( a < b + c \) мы можем добавить \( a \) с обеих сторон неравенства:
\( a + a < b + c + a
\)
Упростим:
\( 2a < a + b + c
\)
Теперь разделим обе части неравенства на 2:
\( a < \frac{a + b + c}{2}
\)
Таким образом, мы доказали, что \( a < \frac{a + b + c}{2} \).
Шаг 2: Докажем, что \( b < \frac{a + b + c}{2} \):
Из неравенства треугольника \( b < a + c \) мы можем добавить \( b \) с обеих сторон неравенства:
\( b + b < a + c + b
\)
Упростим:
\( 2b < a + b + c
\)
Теперь разделим обе части неравенства на 2:
\( b < \frac{a + b + c}{2}
\)
Таким образом, мы доказали, что \( b < \frac{a + b + c}{2} \).
Шаг 3: Докажем, что \( c < \frac{a + b + c}{2} \):
Из неравенства треугольника \( c < a + b \) мы можем добавить \( c \) с обеих сторон неравенства:
\( c + c < a + b + c
\)
Упростим:
\( 2c < a + b + c
\)
Теперь разделим обе части неравенства на 2:
\( c < \frac{a + b + c}{2}
\)
Таким образом, мы доказали, что \( c < \frac{a + b + c}{2} \).
Заключение: Мы доказали, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон. То есть:
- \( a < \frac{a + b + c}{2} \)
- \( b < \frac{a + b + c}{2} \)
- \( c < \frac{a + b + c}{2} \)
Задача решена.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.