Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 102 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
a) \(\frac{x^3 + 3x}{x + 2} + \frac{3x^2 — 14x + 16}{x^2 — 4} + 2x\) является положительным числом;
b) \(y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 — 1} — \frac{y^3 + 2y}{y — 1}\) является отрицательным числом.
a)
\[
\frac{x^3 + 3x}{x + 2} + \frac{3x^2 — 14x + 16}{x^2 — 4} + 2x = \frac{x^3 + 3x}{x + 2} -\]
\[-\frac{3x^2 — 14x + 16}{(x-2)(x+2)} + \frac{2x^3 — 8x}{(x-2)(x+2)}
\]
\[
= \frac{x^4 — 2x^3 + 3x^2 — 6x — (3x^2 — 14x + 16) + 2x^3 — 8x}{(x-2)(x+2)}
\]
\[
= \frac{x^4 — 2x^3 + 3x^2 — 6x — 3x^2 + 14x — 16 + 2x^3 — 8x}{(x-2)(x+2)}
\]
\[
= \frac{x^4 — 16}{(x-2)(x+2)}
\]
\[
= \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} = x^2 + 4 > 0
\]
ОДЗ: \(x^2 — 4 \neq 0\)
\[ x^2 \neq 4 \]
\[ x \neq 2 \text{ или } x \neq -2 \]
б)
\[
y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 — 1} — \frac{y^3 + 2y}{y — 1}
\]
\[
= \frac{y(y-1)(y+1)}{(y-1)(y+1)} + \frac{2y^2 + 3y + 1}{(y-1)(y+1)} — \frac{y^3 + 2y}{y-1}
\]
\[
= \frac{y^3 — y + 2y^2 + 3y + 1 — (y^4 + 2y^2 + y^3 + 2y)}{(y-1)(y+1)}
\]
\[
= \frac{-y^4 + 1}{(y-1)(y+1)}
\]
\[
= -\frac{(y^2+1)(y^2-1)}{(y-1)(y+1)} = -(y^2 + 1) < 0
\]
Т.к. \( y^2 + 1 > 0 \).
ОДЗ: \(y^2 — 1 \neq 0\)
\[ y^2 \neq 1 \]
\[ y \neq 1 \text{ или } y \neq -1 \]
Задача a)
Дано выражение:
\[
\frac{x^3 + 3x}{x + 2} + \frac{3x^2 — 14x + 16}{x^2 — 4} + 2x
\]
Объединим дроби, приведя к общему знаменателю:
\[
\frac{x^3 + 3x}{x + 2} = \frac{x^3 + 3x}{x + 2} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{(x^3 + 3x)(x-2)}{(x-2)(x+2)}
\]
\[
\frac{3x^2 — 14x + 16}{x^2 — 4} = \frac{3x^2 — 14x + 16}{(x-2)(x+2)}
\]
\[
2x = \frac{2x(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x^3 — 8x}{(x-2)(x+2)}
\]
Сложим дроби:
\[
\frac{(x^3 + 3x)(x-2) — (3x^2 — 14x + 16) + 2x^3 — 8x}{(x-2)(x+2)}
\]
Упростим числитель:
\[
x^4 — 2x^3 + 3x^2 — 6x — 3x^2 + 14x — 16 + 2x^3 — 8x = x^4 — 16
\]
Итак, выражение становится:
\[
\frac{x^4 — 16}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} = x^2 + 4
\]
Поскольку \(x^2 + 4 > 0\), выражение всегда положительно.
ОДЗ: \(x^2 — 4 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\) или \(x \neq -2\).
Задача б)
Дано выражение:
\[
y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 — 1} — \frac{y^3 + 2y}{y — 1}
\]
Объединим дроби, приведя к общему знаменателю:
\[
y = \frac{y(y-1)(y+1)}{(y-1)(y+1)}
\]
\[
\frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 — 1} = \frac{2y^2 + 3y + 1}{(y-1)(y+1)}
\]
\[
\frac{y^3 + 2y}{y — 1} = \frac{y^3 + 2y}{y-1} \cdot \frac{y+1}{y+1} = \frac{(y^3 + 2y)(y+1)}{(y-1)(y+1)}
\]
Сложим дроби:
\[
\frac{y(y-1)(y+1) + 2y^2 + 3y + 1 — (y^3 + 2y)(y+1)}{(y-1)(y+1)}
\]
Упростим числитель:
\[
y^3 — y + 2y^2 + 3y + 1 — (y^4 + 2y^2 + y^3 + 2y) = -y^4 + 1
\]
Итак, выражение становится:
\[
\frac{-y^4 + 1}{(y-1)(y+1)} = -\frac{(y^2+1)(y^2-1)}{(y-1)(y+1)} = -(y^2 + 1)
\]
Поскольку \(y^2 + 1 > 0\), выражение всегда отрицательно.
ОДЗ: \(y^2 — 1 \neq 0\), то есть \(y \neq 1\) или \(y \neq -1\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.