ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1017 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите неравенство:
а) \(a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b);\)
б) \(a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c).\)

a) \[a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)\]
\[a^2 + b^2 + 2 — 2a — 2b \geq 0\]
\[a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 \geq 0\]
\[(a — 1)^2 + (b — 1)^2 \geq 0\]

б) \[a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c)\]
\[a^2 + b^2 + c^2 + 5 — 2a — 2b — 2c > 0\]
\[a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 + c^2 — 2c + 1 + 2 > 0\]
\[(a — 1)^2 + (b — 1)^2 + (c — 1)^2 + 2 > 0\]

Рассмотрим неравенство:

a² + b² + 2 ≥ 2(a + b)

Перенесём все члены в левую часть:

a² + b² + 2 — 2a — 2b ≥ 0

Сгруппируем и преобразуем выражение:

a² — 2a + 1 + b² — 2b + 1 ≥ 0

Заметим, что каждое из слагаемых можно представить как полный квадрат:

(a — 1)² + (b — 1)² ≥ 0

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то сумма квадратов также неотрицательна. Следовательно, неравенство выполняется при любых значениях a и b.

Часть б)

Рассмотрим неравенство:

a² + b² + c² + 5 > 2(a + b + c)

Перенесём все члены в левую часть:

a² + b² + c² + 5 — 2a — 2b — 2c > 0

Сгруппируем и преобразуем выражение:

a² — 2a + 1 + b² — 2b + 1 + c² — 2c + 1 + 2 > 0

Представим каждое из слагаемых как полный квадрат:

(a — 1)² + (b — 1)² + (c — 1)² + 2 > 0

Каждое из выражений (a — 1)², (b — 1)², и (c — 1)² неотрицательно, а добавление числа 2 гарантирует, что сумма строго больше нуля. Таким образом, неравенство выполняется при любых значениях a, b и c.