Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1017 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
а) \(a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b);\)
б) \(a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c).\)
a) \[a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)\]
\[a^2 + b^2 + 2 — 2a — 2b \geq 0\]
\[a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 \geq 0\]
\[(a — 1)^2 + (b — 1)^2 \geq 0\]
б) \[a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c)\]
\[a^2 + b^2 + c^2 + 5 — 2a — 2b — 2c > 0\]
\[a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 + c^2 — 2c + 1 + 2 > 0\]
\[(a — 1)^2 + (b — 1)^2 + (c — 1)^2 + 2 > 0\]
Рассмотрим неравенство:
a² + b² + 2 ≥ 2(a + b)
Перенесём все члены в левую часть:
a² + b² + 2 — 2a — 2b ≥ 0
Сгруппируем и преобразуем выражение:
a² — 2a + 1 + b² — 2b + 1 ≥ 0
Заметим, что каждое из слагаемых можно представить как полный квадрат:
(a — 1)² + (b — 1)² ≥ 0
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то сумма квадратов также неотрицательна. Следовательно, неравенство выполняется при любых значениях a и b.
Часть б)
Рассмотрим неравенство:
a² + b² + c² + 5 > 2(a + b + c)
Перенесём все члены в левую часть:
a² + b² + c² + 5 — 2a — 2b — 2c > 0
Сгруппируем и преобразуем выражение:
a² — 2a + 1 + b² — 2b + 1 + c² — 2c + 1 + 2 > 0
Представим каждое из слагаемых как полный квадрат:
(a — 1)² + (b — 1)² + (c — 1)² + 2 > 0
Каждое из выражений (a — 1)², (b — 1)², и (c — 1)² неотрицательно, а добавление числа 2 гарантирует, что сумма строго больше нуля. Таким образом, неравенство выполняется при любых значениях a, b и c.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.