Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1015 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
a) \((x + 1)^2 \geq 4x\);
б) \((3b + 1)^2 > 6b\);
в) \(4(x + 2) < (x + 3)^2 — 2x\);
г) \(1 + (m + 2)^2 > 3(2m — 1)\).
a) \((x + 1)^2 \geq 4x\)
\(x^2 + 2x + 1 — 4x \geq 0\)
\(x^2 — 2x + 1 \geq 0\)
\((x — 1)^2 \geq 0\)
б) \((3b + 1)^2 > 6b\)
\(9b^2 + 6b + 1 — 6b > 0\)
\(9b^2 + 1 > 0\)
в) \(4(x + 2) < (x + 3)^2 — 2x\)
\(4x + 8 < x^2 + 6x + 9 — 2x\)
\(x^2 + 4x + 9 — 4x — 8 > 0\)
\(x^2 + 1 > 0\)
г) \(1 + (m + 2)^2 > 3(2m — 1)\)
\(1 + m^2 + 4m + 4 > 6m — 3\)
\(m^2 + 4m + 5 — 6m + 3 > 0\)
\(m^2 — 2m + 8 > 0\)
\(m^2 — 2m + 1 + 7 > 0\)
\((m — 1)^2 + 7 > 0\)
a) \((x + 1)^2 \geq 4x\)
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\(4x = 4x\)
\(x^2 + 2x + 1 — 4x \geq 0\)
\(x^2 — 2x + 1 \geq 0\)
Получаем полный квадрат:
Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно, неравенство верно при любых значениях \(x\).
б) \((3b + 1)^2 > 6b\)
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\(6b = 6b\)
\(9b^2 + 6b + 1 — 6b > 0\)
\(9b^2 + 1 > 0\)
Квадратное выражение \(9b^2 + 1\) всегда положительно, так как сумма квадрата (\(9b^2\)) и положительного числа (\(1\)) больше нуля. Следовательно, неравенство верно при любых значениях \(b\).
в) \(4(x + 2) < (x + 3)^2 — 2x\)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
\(4x + 8 < x^2 + 6x + 9 — 2x\) \(x^2 + 4x + 9 — 4x — 8 > 0\)
\(x^2 + 1 > 0\)
Квадратное выражение \(x^2 + 1\) всегда положительно, так как сумма квадрата (\(x^2\)) и положительного числа (\(1\)) больше нуля. Следовательно, неравенство верно при любых значениях \(x\).
г) \(1 + (m + 2)^2 > 3(2m — 1)\)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\(3(2m — 1) = 6m — 3\)
\(1 + m^2 + 4m + 4 > 6m — 3\)
\(m^2 + 4m + 5 — 6m + 3 > 0\)
\(m^2 — 2m + 8 > 0\)
Приводим квадратное выражение к полному квадрату:
\((m — 1)^2 + 7 > 0\)
Квадратное выражение \((m — 1)^2\) всегда неотрицательно, а добавление положительного числа (\(7\)) делает выражение строго положительным. Следовательно, неравенство верно при любых значениях \(m\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.