ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1015 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Докажите неравенство:
a) \((x + 1)^2 \geq 4x\);
б) \((3b + 1)^2 > 6b\);
в) \(4(x + 2) < (x + 3)^2 — 2x\);
г) \(1 + (m + 2)^2 > 3(2m — 1)\).

Краткий ответ:

a) \((x + 1)^2 \geq 4x\)
\(x^2 + 2x + 1 — 4x \geq 0\)
\(x^2 — 2x + 1 \geq 0\)
\((x — 1)^2 \geq 0\)

б) \((3b + 1)^2 > 6b\)
\(9b^2 + 6b + 1 — 6b > 0\)
\(9b^2 + 1 > 0\)

в) \(4(x + 2) < (x + 3)^2 — 2x\)
\(4x + 8 < x^2 + 6x + 9 — 2x\)
\(x^2 + 4x + 9 — 4x — 8 > 0\)
\(x^2 + 1 > 0\)

г) \(1 + (m + 2)^2 > 3(2m — 1)\)
\(1 + m^2 + 4m + 4 > 6m — 3\)
\(m^2 + 4m + 5 — 6m + 3 > 0\)
\(m^2 — 2m + 8 > 0\)
\(m^2 — 2m + 1 + 7 > 0\)
\((m — 1)^2 + 7 > 0\)

Подробный ответ:

a) \((x + 1)^2 \geq 4x\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
\(4x = 4x\)
\(x^2 + 2x + 1 — 4x \geq 0\)
\(x^2 — 2x + 1 \geq 0\)

Получаем полный квадрат:

\((x — 1)^2 \geq 0\)

Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно, неравенство верно при любых значениях \(x\).

б) \((3b + 1)^2 > 6b\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\((3b + 1)^2 = 9b^2 + 6b + 1\)
\(6b = 6b\)
\(9b^2 + 6b + 1 — 6b > 0\)
\(9b^2 + 1 > 0\)

Квадратное выражение \(9b^2 + 1\) всегда положительно, так как сумма квадрата (\(9b^2\)) и положительного числа (\(1\)) больше нуля. Следовательно, неравенство верно при любых значениях \(b\).

в) \(4(x + 2) < (x + 3)^2 — 2x\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(4(x + 2) = 4x + 8\)
\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
\(4x + 8 < x^2 + 6x + 9 — 2x\) \(x^2 + 4x + 9 — 4x — 8 > 0\)
\(x^2 + 1 > 0\)

Квадратное выражение \(x^2 + 1\) всегда положительно, так как сумма квадрата (\(x^2\)) и положительного числа (\(1\)) больше нуля. Следовательно, неравенство верно при любых значениях \(x\).

г) \(1 + (m + 2)^2 > 3(2m — 1)\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(1 + (m + 2)^2 = 1 + m^2 + 4m + 4\)
\(3(2m — 1) = 6m — 3\)
\(1 + m^2 + 4m + 4 > 6m — 3\)
\(m^2 + 4m + 5 — 6m + 3 > 0\)
\(m^2 — 2m + 8 > 0\)

Приводим квадратное выражение к полному квадрату:

\(m^2 — 2m + 1 + 7 > 0\)
\((m — 1)^2 + 7 > 0\)

Квадратное выражение \((m — 1)^2\) всегда неотрицательно, а добавление положительного числа (\(7\)) делает выражение строго положительным. Следовательно, неравенство верно при любых значениях \(m\).

Оцени решение