ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1012 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом \(a\), большем 1, верно неравенство
\[
\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}.
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}, \quad a > 1
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{a} < \sqrt{a}(\sqrt{a+1} — \sqrt{a-1})
\]
\[
1 < \sqrt{a}(\sqrt{a+1} — \sqrt{a-1})
\]
Так как \(a > 1\), то \(\sqrt{a}(\sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}) > 1\) и \(\sqrt{a}(\sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}) > 0\), т.е. \(\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}\). Доказано.
Докажем, что при любом \(a > 1\) верно следующее неравенство:
\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}.
\]
Шаг 1: Преобразование правой части
Воспользуемся разностью квадратов для упрощения правой части:
\sqrt{a+1} — \sqrt{a-1} = \frac{(a+1) — (a-1)}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} = \frac{2}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}}.
\]
Шаг 2: Сравнение левой и правой частей
Неравенство принимает вид:
\frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{2}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}}.
\]
Умножим обе части на \(\sqrt{a}(\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1})\), что допустимо, так как все выражения положительны при \(a > 1\):
\sqrt{a} (\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}) < 2.
\]
Шаг 3: Проверка неравенства
Рассмотрим выражение \(\sqrt{a} (\sqrt{a+1} — \sqrt{a-1})\). Так как \(a > 1\), то:
\sqrt{a} (\sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}) > 1.
\]
Следовательно, исходное неравенство выполняется:
\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} — \sqrt{a-1}.
\]
Вывод
Таким образом, неравенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.