Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1011 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если \(x + y + z = 1\), то
\(\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} \leq 5\).
\(x + y + z = 1\)
\(\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 5\)
1) \(\sqrt{4x + 1} \leq \sqrt{4x^2 + 4x + 1} = (2x + 1)^2 = |2x + 1|\), т.к. \(4x + 1 \geq 0\), \(4x \geq -1\), \(x \geq -0.25\), значит \(2x + 1 > 0\).
2) \(\sqrt{4y + 1} \leq \sqrt{4y^2 + 4y + 1} = (2y + 1)^2 = |2y + 1|\), т.к. \(4y + 1 \geq 0\), \(4y \geq -1\), \(y \geq -0.25\), значит \(2y + 1 > 0\).
3) \(\sqrt{4z + 1} \leq \sqrt{4z^2 + 4z + 1} = (2z + 1)^2 = |2z + 1|\), т.к. \(4z + 1 \geq 0\), \(4z \geq -1\), \(z \geq -0.25\), значит \(2z + 1 > 0\).
\[
\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} \leq |2x + 1| + |2y + 1| + |2z + 1|
\]
\[
\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 2x + 1 + 2y + 1 + 2z + 1
\]
\[
\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 2(x + y + z) + 3
\]
\[
\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 2 \cdot 1 + 3
\]
\[
\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 2 + 3
\]
\[
\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 5
\]
Доказано.
Докажите, что если x + y + z = 1, то:
√(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 5.
Доказательство
Шаг 1: Рассмотрим первое слагаемое
Для √(4x + 1):
Используем неравенство: √(4x + 1) ≤ √(4x² + 4x + 1).
Заметим, что √(4x² + 4x + 1) = |2x + 1|.
Так как 4x + 1 ≥ 0, то:
- 4x ≥ -1
- x ≥ -0.25
Следовательно, 2x + 1 > 0, и:
√(4x + 1) ≤ 2x + 1.
Шаг 2: Рассмотрим второе слагаемое
Для √(4y + 1):
Аналогично, √(4y + 1) ≤ √(4y² + 4y + 1).
Заметим, что √(4y² + 4y + 1) = |2y + 1|.
Так как 4y + 1 ≥ 0, то:
- 4y ≥ -1
- y ≥ -0.25
Следовательно, 2y + 1 > 0, и:
√(4y + 1) ≤ 2y + 1.
Шаг 3: Рассмотрим третье слагаемое
Для √(4z + 1):
Аналогично, √(4z + 1) ≤ √(4z² + 4z + 1).
Заметим, что √(4z² + 4z + 1) = |2z + 1|.
Так как 4z + 1 ≥ 0, то:
- 4z ≥ -1
- z ≥ -0.25
Следовательно, 2z + 1 > 0, и:
√(4z + 1) ≤ 2z + 1.
Шаг 4: Суммируем все слагаемые
Суммируя, получаем:
√(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ (2x + 1) + (2y + 1) + (2z + 1).
Упрощаем выражение:
√(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 2(x + y + z) + 3.
Так как x + y + z = 1, то:
√(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 2 · 1 + 3.
√(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 5.
Вывод
Таким образом, доказано, что √(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 5.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.