ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 101 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что тождественно равны выражения:

а) \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3}\) и \(a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\);

б) \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\) и \(a — 1\).

Задача а)

Докажите, что выражения тождественно равны:

1) \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3}\) и \(a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\).

— Упрощение первого выражения:
\[
\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3} = \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2}{a-3} = \frac{3 + a^3}{a(a-3)} = \frac{3 + a^3}{a^2 — 3a}
\]

— Упрощение второго выражения:
\[
a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a} = \frac{a^3 — 3a^2 + 3a^2 — 9a + 9a + 3}{a^2 — 3a} = \frac{a^3 + 3}{a^2 — 3a}
\]

Задача б)

Докажите, что выражения тождественно равны:

1) \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\) и \(a — 1\).

— Упрощение первого выражения:
\[
\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2} = \frac{a^3 — (a^2 + 2a) — (2a — 4)}{(a-2)(a+2)} =\]

\[\frac{a^3 — a^2 — 4a + 4}{a^2 — 4}
\]

— Упрощение второго выражения:
\[
a — 1 = \frac{a^2(a-1) — 4(a-1)}{a^2 — 4} = \frac{(a-1)(a^2 — 4)}{a^2 — 4} = a — 1
\]

Задача a)

Докажите, что выражения тождественно равны:

1) \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3}\) и \(a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\).

Докажем, что выражения тождественно равны:

1. Первое выражение:\(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3}\)

   Приведем к общему знаменателю:

   \[
   \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2}{a-3} = \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^3}{a(a-3)}
   \]

   Сложим дроби:

   \[
   \frac{3 + a^3}{a(a-3)} = \frac{a^3 + 3}{a^2 — 3a}
   \]

2. Второе выражение:\(a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\)

   Представим \(a + 3\) в виде дроби с общим знаменателем:

   \[
   \frac{a(a^2 — 3a) + 3(a^2 — 3a) + 9a + 3}{a^2 — 3a}
   \]

   Упростим числитель:

   \[
   a^3 — 3a^2 + 3a^2 — 9a + 9a + 3 = a^3 + 3
   \]

   Таким образом, второе выражение также равно:

   \[
   \frac{a^3 + 3}{a^2 — 3a}
   \]

Оба выражения равны \(\frac{a^3 + 3}{a^2 — 3a}\).

Задача b)

Докажите, что выражения тождественно равны:

1) \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\) и \(a — 1\).

Докажем, что выражения тождественно равны:

1. Первое выражение:\(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\)

   Приведем к общему знаменателю:

   \[
   \frac{a^3}{(a-2)(a+2)} — \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} — \frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}
   \]

   Упростим числитель:

   \[
   a^3 — (a^2 + 2a) — (2a — 4) = a^3 — a^2 — 4a + 4
   \]

   Перепишем в виде:

   \[
   (a-1)(a^2 — 4) = a^2(a-1) — 4(a-1)
   \]

   Таким образом, первое выражение равно:

   \[
   a — 1
   \]

2. Второе выражение:\(a — 1\)

   Очевидно, что оно равно \(a — 1\).

Оба выражения равны \(a — 1\).