ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1009 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что
\[\sqrt{(a + c)(b + d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd},\]
если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), \(d > 0\).

\[\sqrt{(a + c)(b + d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd},\ a > 0, b > 0, c > 0, d > 0\]

\[\sqrt{(a + c)(b + d)}^2 \geq (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2\]

\[(a + c)(b + d) \geq ab + 2\sqrt{abcd} + cd\]

\[ab + ad + cd + cb — ab — cd \geq 2\sqrt{abcd}\]

\[ad + cb \geq 2\sqrt{abcd}\]

\[ad + cb — 2\sqrt{abcd} \geq 0\]

\[(\sqrt{ab} — \sqrt{cd})^2 \geq 0\]

Доказано.

Докажем, что для \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), \(d > 0\) выполняется неравенство:

\[\sqrt{(a + c)(b + d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd}.\]

Шаг 1: Возведение обеих частей в квадрат

Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[\sqrt{(a + c)(b + d)}^2 \geq (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2.\]

Это эквивалентно:

\[(a + c)(b + d) \geq ab + 2\sqrt{abcd} + cd.\]

Шаг 2: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в левой части:

\[(a + c)(b + d) = ab + ad + cb + cd.\]

Подставим это выражение в неравенство:

\[ab + ad + cb + cd \geq ab + 2\sqrt{abcd} + cd.\]

Шаг 3: Упрощение

Сократим одинаковые слагаемые (\(ab\) и \(cd\)) в обеих частях:

\[ad + cb \geq 2\sqrt{abcd}.\]

Шаг 4: Преобразование

Перенесем \(2\sqrt{abcd}\) в левую часть:

\[ad + cb — 2\sqrt{abcd} \geq 0.\]

Шаг 5: Представление через квадрат

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

\[(\sqrt{ab} — \sqrt{cd})^2 \geq 0.\]

Шаг 6: Вывод

Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно:

\[(\sqrt{ab} — \sqrt{cd})^2 \geq 0.\]

Таким образом, исходное неравенство доказано.