Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1009 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что
\[\sqrt{(a + c)(b + d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd},\]
если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), \(d > 0\).
\[\sqrt{(a + c)(b + d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd},\ a > 0, b > 0, c > 0, d > 0\]
\[\sqrt{(a + c)(b + d)}^2 \geq (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2\]
\[(a + c)(b + d) \geq ab + 2\sqrt{abcd} + cd\]
\[ab + ad + cd + cb — ab — cd \geq 2\sqrt{abcd}\]
\[ad + cb \geq 2\sqrt{abcd}\]
\[ad + cb — 2\sqrt{abcd} \geq 0\]
\[(\sqrt{ab} — \sqrt{cd})^2 \geq 0\]
Доказано.
Докажем, что для \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), \(d > 0\) выполняется неравенство:
\[\sqrt{(a + c)(b + d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd}.\]
Шаг 1: Возведение обеих частей в квадрат
Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[\sqrt{(a + c)(b + d)}^2 \geq (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2.\]
Это эквивалентно:
\[(a + c)(b + d) \geq ab + 2\sqrt{abcd} + cd.\]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки в левой части:
\[(a + c)(b + d) = ab + ad + cb + cd.\]
Подставим это выражение в неравенство:
\[ab + ad + cb + cd \geq ab + 2\sqrt{abcd} + cd.\]
Шаг 3: Упрощение
Сократим одинаковые слагаемые (\(ab\) и \(cd\)) в обеих частях:
\[ad + cb \geq 2\sqrt{abcd}.\]
Шаг 4: Преобразование
Перенесем \(2\sqrt{abcd}\) в левую часть:
\[ad + cb — 2\sqrt{abcd} \geq 0.\]
Шаг 5: Представление через квадрат
Заметим, что левая часть является полным квадратом:
\[(\sqrt{ab} — \sqrt{cd})^2 \geq 0.\]
Шаг 6: Вывод
Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно:
\[(\sqrt{ab} — \sqrt{cd})^2 \geq 0.\]
Таким образом, исходное неравенство доказано.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.