ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1008 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.
a > 0, b > 0
\[
\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \leq \frac{a^3+b^3}{2}
\]
\[
\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 — \frac{a^3+b^3}{2} \leq 0
\]
\[
\frac{(a+b)^3}{8} — \frac{a^3+b^3}{2} \leq 0
\]
\[
\frac{(a+b)^3}{8} — \frac{4(a^3+b^3)}{8} \leq 0
\]
\[
\frac{(a+b)^3 — 4(a^3+b^3)}{8} \leq 0
\]
\[
\frac{(a+b)^3 — 4(a+b)(a^2-ab+b^2)}{8} \leq 0
\]
\[
\frac{(a+b)((a+b)^2 — 4(a^2-ab+b^2))}{8} \leq 0
\]
\[
\frac{(a+b)(a^2+2ab+b^2 — 4a^2+4ab-4b^2)}{8} \leq 0
\]
\[
\frac{(a+b)(-3a^2-3b^2+6ab)}{8} \leq 0
\]
\[
\frac{-3(a+b)(a^2+b^2-2ab)}{8} \leq 0
\]
\[
\frac{-3(a+b)(a-b)^2}{8} \leq 0
\]
Доказано.
Докажем, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов:
\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \leq \frac{a^3+b^3}{2}, \quad a > 0, b > 0
\]
Шаги доказательства
Шаг 1: Перепишем исходное неравенство
Приведем к виду разности:
\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 — \frac{a^3+b^3}{2} \leq 0
\]
Шаг 2: Преобразуем выражение
Введем общий знаменатель:
\frac{(a+b)^3}{8} — \frac{a^3+b^3}{2} \leq 0
\]
Приведем к общему знаменателю:
\frac{(a+b)^3}{8} — \frac{4(a^3+b^3)}{8} \leq 0
\]
Шаг 3: Упростим числитель
Вычтем числители:
\frac{(a+b)^3 — 4(a^3+b^3)}{8} \leq 0
\]
Разложим куб суммы:
\frac{(a+b)^3 — 4(a+b)(a^2-ab+b^2)}{8} \leq 0
\]
Шаг 4: Вынесем общий множитель
Упростим выражение:
\frac{(a+b)((a+b)^2 — 4(a^2-ab+b^2))}{8} \leq 0
\]
Раскроем скобки:
\frac{(a+b)(a^2+2ab+b^2 — 4a^2+4ab-4b^2)}{8} \leq 0
\]
Шаг 5: Упростим до конечного вида
Сгруппируем подобные члены:
\frac{(a+b)(-3a^2-3b^2+6ab)}{8} \leq 0
\]
Представим в виде квадрата разности:
\frac{-3(a+b)(a-b)^2}{8} \leq 0
\]
Шаг 6: Вывод
Так как \((a-b)^2 \geq 0\) и \(a+b > 0\), то выражение всегда выполняется:
\frac{-3(a+b)(a-b)^2}{8} \leq 0
\]
Неравенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.