ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1007 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

a) \(\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} \geq 6\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\);

б) \((1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(abc = 9\).

a)
\[
\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} \geq 6
\]
\[
\frac{a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + a^2c + c^2a}{abc} \geq 6
\]
\[
\frac{(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2)}{abc} \geq 6
\]

\[
\frac{a^2b + bc^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2c^2}, \quad a^2b + bc^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
\frac{ab^2 + ac^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2c^2}, \quad ab^2 + ac^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
\frac{cb^2 + ca^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2c^2}, \quad cb^2 + ca^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]

\[
a^2b + bc^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}, \quad ab^2 + ac^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}, \quad cb^2 +\]

\[ca^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]

\[
(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2) \geq 6\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2) \geq 6abc
\]
\[
\frac{(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2)}{abc} \geq 6
\]

Доказано.

б)
\[
(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, \quad a > 0, \, b > 0, \, c > 0, \, abc = 9
\]

\[
\frac{1 + a}{2} \geq \sqrt{a}, \quad a + 1 \geq 2\sqrt{a}
\]
\[
\frac{1 + b}{2} \geq \sqrt{b}, \quad b + 1 \geq 2\sqrt{b}
\]
\[
\frac{1 + c}{2} \geq \sqrt{c}, \quad c + 1 \geq 2\sqrt{c}
\]

\[
a + 1 \geq 2\sqrt{a}, \quad b + 1 \geq 2\sqrt{b}, \quad c + 1 \geq 2\sqrt{c}
\]

\[
(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 8\sqrt{abc}
\]
\[
(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 8\sqrt{9}
\]
\[
(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 24
\]

Доказано.

Часть (а)

Доказать, что:

a/b + b/c + c/a ≥ 6, где a > 0, b > 0, c > 0, abc = 1.

Часть (б)

Доказать, что:

(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, где a > 0, b > 0, c > 0, abc = 9.