Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1007 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что:
a) \(\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} \geq 6\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\);
б) \((1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(abc = 9\).
a)
\[
\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} \geq 6
\]
\[
\frac{a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + a^2c + c^2a}{abc} \geq 6
\]
\[
\frac{(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2)}{abc} \geq 6
\]
\[
\frac{a^2b + bc^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2c^2}, \quad a^2b + bc^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
\frac{ab^2 + ac^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2c^2}, \quad ab^2 + ac^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
\frac{cb^2 + ca^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2c^2}, \quad cb^2 + ca^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
a^2b + bc^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}, \quad ab^2 + ac^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}, \quad cb^2 +\]
\[ca^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2) \geq 6\sqrt{a^2b^2c^2}
\]
\[
(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2) \geq 6abc
\]
\[
\frac{(a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (cb^2 + ca^2)}{abc} \geq 6
\]
Доказано.
б)
\[
(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, \quad a > 0, \, b > 0, \, c > 0, \, abc = 9
\]
\[
\frac{1 + a}{2} \geq \sqrt{a}, \quad a + 1 \geq 2\sqrt{a}
\]
\[
\frac{1 + b}{2} \geq \sqrt{b}, \quad b + 1 \geq 2\sqrt{b}
\]
\[
\frac{1 + c}{2} \geq \sqrt{c}, \quad c + 1 \geq 2\sqrt{c}
\]
\[
a + 1 \geq 2\sqrt{a}, \quad b + 1 \geq 2\sqrt{b}, \quad c + 1 \geq 2\sqrt{c}
\]
\[
(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 8\sqrt{abc}
\]
\[
(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 8\sqrt{9}
\]
\[
(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 24
\]
Доказано.
Часть (а)
Доказать, что:
a/b + b/c + c/a ≥ 6, где a > 0, b > 0, c > 0, abc = 1.
Шаг 1: Преобразование выражения
Преобразуем сумму дробей:
a²b + b²a + b²c + c²b + a²c + c²a / abc ≥ 6.
Сгруппируем термы:
(a²b + bc²) + (ab² + ac²) + (cb² + ca²) / abc ≥ 6.
Шаг 2: Применение среднего арифметического и геометрического
Для каждого из группированных термов:
a²b + bc² ≥ 2√(a²b²c²).
ab² + ac² ≥ 2√(a²b²c²).
cb² + ca² ≥ 2√(a²b²c²).
Суммируя, получаем:
(a²b + bc²) + (ab² + ac²) + (cb² + ca²) ≥ 6√(a²b²c²).
Шаг 3: Учет условия abc = 1
Подставим значение abc = 1:
6√(a²b²c²) = 6.
Таким образом, доказано:
a/b + b/c + c/a ≥ 6.
Часть (б)
Доказать, что:
(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, где a > 0, b > 0, c > 0, abc = 9.
Шаг 1: Применение среднего арифметического и геометрического
Для каждого из множителей:
(1 + a) / 2 ≥ √a, отсюда a + 1 ≥ 2√a.
(1 + b) / 2 ≥ √b, отсюда b + 1 ≥ 2√b.
(1 + c) / 2 ≥ √c, отсюда c + 1 ≥ 2√c.
Шаг 2: Умножение выражений
Умножим результаты:
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8√(abc).
Подставим значение abc = 9:
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8√9.
Так как √9 = 3, получаем:
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 24.
Шаг 3: Вывод
Таким образом, доказано:
(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 24.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.