ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1006 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что при \(a > 0\) и \(b > 0\) верно неравенство:
a) \((a + b)(ab + 16) \geq 16ab;\)
б) \((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab.\)

Краткий ответ:

a) \((a + b)(ab + 16) \geq 16ab\)
\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad a + b \geq 2\sqrt{ab}
\]
\[
\frac{ab + 16}{2} \geq \sqrt{16ab} \quad ab + 16 \geq 2\sqrt{16ab} \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab}, \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]
\[
(a + b)(ab + 16) \geq 16\sqrt{a^2b^2} \quad (a + b)(ab + 16) \geq 16ab
\]

б) \((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab\)
\[
\frac{a^2 + 4b}{2} \geq \sqrt{4a^2b} \quad a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}
\]
\[
\frac{4b + 25}{2} \geq \sqrt{100b} \quad 4b + 25 \geq 2\sqrt{100b} \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]
\[
a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}, \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]
\[
(a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80\sqrt{a^2b^2} \quad (a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab
\]

Подробный ответ:

Часть (a): Докажите, что \((a + b)(ab + 16) \geq 16ab\)

Шаг 1: Используем среднее арифметическое и среднее геометрическое:

\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \Rightarrow \quad a + b \geq 2\sqrt{ab}
\]

Шаг 2: Аналогично для второй части выражения:

\[
\frac{ab + 16}{2} \geq \sqrt{16ab} \quad \Rightarrow \quad ab + 16 \geq 2\sqrt{16ab} \quad \Rightarrow \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]

Шаг 3: Умножаем результаты:

\[
a + b \geq 2\sqrt{ab}, \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]
\[
(a + b)(ab + 16) \geq 16\sqrt{a^2b^2} \quad \Rightarrow \quad (a + b)(ab + 16) \geq 16ab
\]

Часть (б): Докажите, что \((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab\)

Шаг 1: Используем среднее арифметическое и среднее геометрическое для первой части:

\[
\frac{a^2 + 4b}{2} \geq \sqrt{4a^2b} \quad \Rightarrow \quad a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}
\]

Шаг 2: Аналогично для второй части выражения:

\[
\frac{4b + 25}{2} \geq \sqrt{100b} \quad \Rightarrow \quad 4b + 25 \geq 2\sqrt{100b} \quad \Rightarrow \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]

Шаг 3: Умножаем результаты:

\[
a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}, \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]
\[
(a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80\sqrt{a^2b^2} \quad \Rightarrow \quad (a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab
\]

Оцени решение