Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1006 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при \(a > 0\) и \(b > 0\) верно неравенство:
a) \((a + b)(ab + 16) \geq 16ab;\)
б) \((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab.\)
a) \((a + b)(ab + 16) \geq 16ab\)
\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad a + b \geq 2\sqrt{ab}
\]
\[
\frac{ab + 16}{2} \geq \sqrt{16ab} \quad ab + 16 \geq 2\sqrt{16ab} \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab}, \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]
\[
(a + b)(ab + 16) \geq 16\sqrt{a^2b^2} \quad (a + b)(ab + 16) \geq 16ab
\]
б) \((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab\)
\[
\frac{a^2 + 4b}{2} \geq \sqrt{4a^2b} \quad a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}
\]
\[
\frac{4b + 25}{2} \geq \sqrt{100b} \quad 4b + 25 \geq 2\sqrt{100b} \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]
\[
a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}, \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]
\[
(a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80\sqrt{a^2b^2} \quad (a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab
\]
Часть (a): Докажите, что \((a + b)(ab + 16) \geq 16ab\)
Шаг 1: Используем среднее арифметическое и среднее геометрическое:
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \Rightarrow \quad a + b \geq 2\sqrt{ab}
\]
Шаг 2: Аналогично для второй части выражения:
\frac{ab + 16}{2} \geq \sqrt{16ab} \quad \Rightarrow \quad ab + 16 \geq 2\sqrt{16ab} \quad \Rightarrow \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]
Шаг 3: Умножаем результаты:
a + b \geq 2\sqrt{ab}, \quad ab + 16 \geq 8\sqrt{ab}
\]
\[
(a + b)(ab + 16) \geq 16\sqrt{a^2b^2} \quad \Rightarrow \quad (a + b)(ab + 16) \geq 16ab
\]
Часть (б): Докажите, что \((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab\)
Шаг 1: Используем среднее арифметическое и среднее геометрическое для первой части:
\frac{a^2 + 4b}{2} \geq \sqrt{4a^2b} \quad \Rightarrow \quad a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}
\]
Шаг 2: Аналогично для второй части выражения:
\frac{4b + 25}{2} \geq \sqrt{100b} \quad \Rightarrow \quad 4b + 25 \geq 2\sqrt{100b} \quad \Rightarrow \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]
Шаг 3: Умножаем результаты:
a^2 + 4b \geq 4\sqrt{a^2b}, \quad 4b + 25 \geq 20\sqrt{b}
\]
\[
(a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80\sqrt{a^2b^2} \quad \Rightarrow \quad (a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.